Terminale · fiche 2 sur 12

Limites de fonctions

Une limite décrit le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition. Les asymptotes en sont la traduction graphique.

L'essentiel en trois points

Une limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale d'équation $x = a$.
Une limite finie $\ell$ en l'infini donne une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$.
L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$.

Limites en l'infini

Comment faire — polynômes et quotients

En $\pm\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et un quotient de polynômes que le quotient de leurs termes de plus haut degré.

Exemple guidé

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{3x^2-x+5}{2x^2+7} = \lim \dfrac{3x^2}{2x^2} = \dfrac32$.

Piège à éviter

Cette règle ne vaut que pour les limites en l'infini. En un réel, il faut remplacer, et étudier le signe du dénominateur s'il s'annule.

Limites en un réel

Comment faire — quand le dénominateur s'annule

Si le numérateur ne s'annule pas, la limite est infinie. Le signe dépend de celui du dénominateur, qu'il faut donc étudier à gauche et à droite séparément.

Exemple guidé

$f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ : $\displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to2^+} f(x) = +\infty$. La droite $x = 2$ est asymptote verticale.

Les asymptotes

Règle — les deux cas au programme

Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$, la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale.

Si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \ell$, la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote horizontale.

Les croissances comparées

Règle — les résultats à connaître

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0$ ; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0^+} x\ln x = 0$.

Astuce

Une phrase résume tout : l'exponentielle écrase les puissances, qui écrasent le logarithme. En cas de doute sur une forme indéterminée, c'est le terme le plus « fort » qui impose sa limite.

Lever une indétermination

Comment faire — les techniques

Factoriser par le terme dominant ; simplifier une fraction ; multiplier par la quantité conjuguée en présence d'une racine ; reconnaître une croissance comparée.

Vérifiez que vous savez faire

déterminer la limite d'un quotient de polynômes en l'infini
étudier une limite en un réel qui annule le dénominateur
reconnaître une asymptote verticale ou horizontale
appliquer les croissances comparées
lever une forme indéterminée par factorisation ou conjugaison

On nous pose souvent ces questions

Comment calculer la limite d'un quotient de polynômes en l'infini ?

On ne garde que les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur, puis on simplifie. Cette règle ne vaut qu'en l'infini.

Qu'est-ce qu'une asymptote verticale ?

C'est une droite d'équation x égale a, obtenue lorsque la fonction tend vers l'infini quand x s'approche de a.

Que disent les croissances comparées ?

Que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, et que toute puissance de x l'emporte sur le logarithme.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Le cours complet : Limites de suites et de fonctions et continuité en TerminaleLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
Les exercices corrigés : Limites de fonctions en TerminaleLe chapitre traité en entier, avec ses énoncés et ses corrigés.
Le QCM du chapitre : Fonctions et limites en TerminaleDes questions à choix multiples corrigées pour se tester en quelques minutes.

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