Terminale · fiche 4 sur 12

Logarithme népérien

Le logarithme transforme les produits en sommes. C'est la fonction réciproque de l'exponentielle, ce qui explique toutes ses propriétés.

L'essentiel en trois points

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ pour $a$ et $b$ strictement positifs.
$\ln x = y$ équivaut à $x = e^y$ : les deux fonctions sont réciproques.
$\ln$ est définie et strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

Définition

À savoir — réciproque de l'exponentielle

Pour $x > 0$, $\ln x$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y = x$.

Donc $e^{\ln x} = x$ pour $x>0$, et $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$.

$\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.

Piège à éviter

$\ln x$ n'existe que pour $x > 0$. Avant toute résolution, écrivez l'ensemble de définition : des solutions négatives doivent être écartées à la fin.

Les propriétés algébriques

Règle — les formules

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt{a} = \dfrac12\ln a$.

Piège à éviter

$\ln(a+b)$ ne se simplifie pas. Il n'existe aucune formule pour le logarithme d'une somme.

Exemple guidé

$\ln 8 - \ln 2 = \ln 4 = 2\ln 2$.

Dérivée, variations, limites

Règle — les résultats

$(\ln x)' = \dfrac1x$ sur $]0\ ;\ +\infty[$, et $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$.

$\ln$ est strictement croissante ; $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty$.

Exemple guidé

$f(x) = \ln(x^2+1)$ : $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$, du signe de $x$. La fonction décroît puis croît, avec un minimum en $0$.

Équations et inéquations

Règle — les équivalences

Pour $a>0$ et $b>0$ : $\ln a = \ln b$ équivaut à $a = b$, et $\ln a < \ln b$ équivaut à $a < b$.

Comment faire — la méthode

1. Déterminer l'ensemble de définition.
2. Regrouper les logarithmes en un seul de chaque côté.
3. Supprimer les $\ln$.
4. Écarter les solutions hors de l'ensemble de définition.

Exemple guidé

$\ln(x) + \ln(x-3) = \ln 4$ avec $x>3$. On obtient $\ln\big(x(x-3)\big) = \ln 4$, soit $x^2-3x-4 = 0$, de racines $4$ et $-1$. Seule $4$ convient.

Une application

Astuce

Le logarithme résout les inéquations en $q^n$. Pour trouver le plus petit $n$ tel que $0{,}9^n < 0{,}01$, on passe au logarithme : $n\ln(0{,}9) < \ln(0{,}01)$, et comme $\ln(0{,}9)$ est négatif, le sens de l'inégalité s'inverse, donnant $n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}7$, soit $n = 44$.

Vérifiez que vous savez faire

utiliser la relation entre $\ln$ et $\exp$
appliquer les propriétés algébriques du logarithme
dériver une fonction du type $\ln u$
résoudre une équation avec des logarithmes en écartant les valeurs interdites
résoudre une inéquation en $q^n$ à l'aide du logarithme

On nous pose souvent ces questions

Quelle relation lie le logarithme et l'exponentielle ?

Ce sont deux fonctions réciproques : le logarithme de l'exponentielle de x redonne x, et l'exponentielle du logarithme de x redonne x pour x strictement positif.

Existe-t-il une formule pour le logarithme d'une somme ?

Non. Seuls les produits, les quotients et les puissances se transforment. Le logarithme d'une somme ne se simplifie pas.

Pourquoi faut-il chercher l'ensemble de définition avant de résoudre ?

Parce que le logarithme n'existe que pour des nombres strictement positifs. Certaines solutions de l'équation finale doivent être écartées.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Le cours complet : Fonction logarithme népérien en TerminaleLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
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