Cercle circonscrit
En bref : Le cercle circonscrit d’un triangle est l’unique cercle qui contient ses trois sommets sur son bord ; on place son centre au croisement des médiatrices des côtés.
5èmeGéométrie plane
Définition : Cercle circonscrit
Le cercle circonscrit à un triangle entoure la figure en touchant ses trois sommets, comme une barrière circulaire autour d’un petit terrain triangulaire.
Le centre de ce cercle se trouve à la même distance de chacun des sommets. Comme les points équidistants de deux sommets sont sur la médiatrice du côté qui les joint, il se trouve au croisement des médiatrices des trois côtés. Deux médiatrices suffisent pour le placer. Son rayon est la distance de ce centre à n’importe lequel des sommets.
Comment le reconnaître
- On cherche un point à égale distance de trois sommets, ou un cercle passant par trois points donnés.
- L’énoncé demande de tracer le cercle « passant par A, B et C ».
- Une pièce, une table ronde ou un parc circulaire doit contenir un triangle de points imposés.
- Les médiatrices d’un triangle sont tracées et se croisent en un seul point.
La méthode
- Tracer la médiatrice d’un premier côté du triangle, au compas ou à l’équerre.
- Tracer la médiatrice d’un deuxième côté : les deux droites se coupent en \(O\).
- Régler le compas sur la distance \(OA\), puis tracer le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\).
- Vérifier qu’il passe aussi par \(B\) et \(C\), puis noter que \(OA = OB = OC\).
Cercle circonscrit : exemple corrigé
Énoncé
Le cercle circonscrit au triangle \(ABC\) a pour centre \(O\), avec \(OA = 4{,}2\) cm. Donner \(OB\), \(OC\) et le diamètre du cercle. Un point \(D\) tel que \(OD = 5{,}1\) cm est-il à l’intérieur ?
Corrigé
\(A\), \(B\) et \(C\) sont sur le cercle de centre \(O\) : leurs distances à \(O\) sont égales, donc OB = OC = 4,2 cm.
Le diamètre est le double du rayon : \(2 \times 4{,}2 = 8{,}4\) cm. Comme \(5{,}1 > 4{,}2\), le point \(D\) est à l’extérieur du cercle.
À toi de jouer
Question 1
Combien de médiatrices faut-il au minimum tracer pour placer le centre du cercle circonscrit ?
Voir la réponse
Deux : leur croisement donne le centre, la troisième passerait forcément par ce même point.
Question 2
Trois points alignés ont-ils un cercle passant par eux ?
Voir la réponse
Non : leurs médiatrices sont parallèles, donc ne se coupent pas. Il n’existe pas de point équidistant des trois.
Ne pas confondre Cercle circonscrit et Cercle inscrit
Le cercle circonscrit entoure le triangle et passe par ses trois sommets : son centre est le croisement des médiatrices. Le cercle inscrit est caché à l’intérieur et touche les trois côtés : son centre est le croisement des bissectrices. L’un contient la figure, l’autre est contenu par elle.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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