Cercle inscrit
En bref : Le cercle inscrit dans un triangle est le cercle situé à l’intérieur, qui touche chacun des trois côtés en un seul point ; son centre est le croisement des bissectrices.
5èmeGéométrie plane
Définition : Cercle inscrit
Dans un triangle, on peut loger un cercle qui frôle les trois côtés sans en sortir : c’est le cercle inscrit. Chaque côté ne le touche qu’en un seul point.
Son centre est à la même distance des trois côtés, ce qui le place sur les bissectrices des trois angles : il est donc à leur croisement. Deux bissectrices suffisent. Le rayon est la distance du centre à un côté, mesurée sur la perpendiculaire au côté. Un tel cercle existe pour tout triangle, et son centre est toujours à l’intérieur de la figure.
Comment le reconnaître
- On cherche un point à égale distance des trois côtés d’un triangle.
- L’énoncé demande le plus grand disque qui rentre dans une plaque triangulaire.
- Les bissectrices des trois angles se croisent à l’intérieur de la figure.
- Un cercle touche chaque côté du triangle sans le couper.
La méthode
- Tracer la bissectrice d’un premier angle du triangle avec le compas.
- Tracer la bissectrice d’un deuxième angle : les deux demi-droites se coupent en \(I\).
- Mesurer la distance de \(I\) à un côté en traçant la perpendiculaire à ce côté passant par \(I\).
- Tracer le cercle de centre \(I\) avec ce rayon et vérifier qu’il touche les trois côtés.
Cercle inscrit : exemple corrigé
Énoncé
Une plaque en forme de triangle \(ABC\) contient un cercle inscrit de centre \(I\) et de rayon \(1{,}7\) cm. Quelle est la distance de \(I\) à chacun des trois côtés ? Quel est le diamètre du cercle ?
Corrigé
Le cercle touche chaque côté en un point où le rayon est perpendiculaire au côté. La distance de \(I\) à chaque côté est donc le rayon : 1,7 cm pour les trois.
Le diamètre vaut \(2 \times 1{,}7 = 3{,}4\) cm : la plaque doit être au moins aussi large que 3,4 cm en tout point de contact.
À toi de jouer
Question 1
Où se trouve le centre du cercle inscrit par rapport au triangle : dedans, dehors ou sur un côté ?
Voir la réponse
À l’intérieur, car les bissectrices des angles d’un triangle se croisent toujours dans la figure.
Question 2
Combien de points communs le cercle inscrit a-t-il avec le côté \([AB]\) ?
Voir la réponse
Un seul : il touche le côté sans le traverser, au pied de la perpendiculaire issue du centre.
Ne pas confondre Cercle inscrit et Cercle circonscrit
Ce cercle-ci est blotti à l’intérieur du triangle et touche les trois côtés ; son centre se trouve avec les bissectrices. Le cercle circonscrit passe par les trois sommets et entoure la figure ; son centre se trouve avec les médiatrices. Il faut ne pas échanger les deux outils.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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