Distance d’un point à une droite
En bref : La distance d’un point à une droite correspond à la longueur du trait qui descend du point vers la droite en la rencontrant à angle droit ; aucun autre trait n’est plus court.
6èmeGéométrie plane
Définition : Distance d'un point à une droite
La distance d’un point à une droite se mesure en suivant le chemin le plus court, qui est toujours celui qui rejoint la droite à angle droit.
Si \(M\) est le point et \((d)\) la droite, on trace la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(M\). Elle coupe \((d)\) en un point \(H\), appelé pied de la perpendiculaire. La distance cherchée est la longueur \(MH\). Tout autre segment reliant \(M\) à un point de la droite est plus long. Si \(M\) est sur la droite, la distance vaut \(0\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé veut le chemin le plus court entre une maison et une route rectiligne.
- Une consigne demande la distance d’un point à une droite sans autre précision.
- On doit placer une ligne d’eau, un poteau ou une fenêtre au plus près d’un mur.
- Une figure montre un petit carré de codage à l’endroit où un segment touche une droite.
La méthode
- Appuyer un bord de l’équerre contre la droite \((d)\), celui qui forme le coin droit.
- Faire glisser l’équerre jusqu’à ce que son autre côté passe exactement par le point \(M\).
- Tracer le segment de \(M\) jusqu’à la droite : son pied est le point \(H\).
- Mesurer \(MH\) à la règle et écrire : « la distance de \(M\) à \((d)\) est \(MH\) ».
Distance d'un point à une droite : exemple corrigé
Énoncé
Un pêcheur est assis en \(P\), à \(14\) m de la berge rectiligne d’un canal, mesurés en suivant la perpendiculaire. Un second pêcheur est en \(Q\), sur la berge. Quelle est la distance de \(P\) à la berge, et celle de \(Q\) ?
Corrigé
Pour le premier, la mesure le long de la perpendiculaire est justement la plus courte : elle vaut \(14\) m.
Le second est sur la droite elle-même, donc sans écart. La distance est de 14 m pour \(P\) et de 0 m pour \(Q\).
À toi de jouer
Question 1
Un point \(M\) est à \(3\) cm du pied \(H\) de sa perpendiculaire sur \((d)\), et \(MH = 4\) cm. La distance de \(M\) à \((d)\) est-elle \(3\) cm ?
Voir la réponse
Non : c’est \(MH = 4\) cm, la longueur de la perpendiculaire, pas l’écart le long de la droite.
Question 2
Peut-il exister un segment de \(M\) à \((d)\) plus court que \(MH\) ?
Voir la réponse
Non, la perpendiculaire donne toujours le plus court chemin.
Ne pas confondre Distance d'un point à une droite et Distance
Entre deux points, la valeur cherchée est celle du segment qui les relie. Avec une droite, il y a une infinité de points possibles, donc on retient le plus petit écart, mesuré à angle droit. Il n’existe donc qu’une seule valeur pour un point et une droite donnés.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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