Intégrale
En bref : Une intégrale cumule les valeurs d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b] : on la calcule grâce à une primitive F, et elle représente une aire où la partie sous l’axe est comptée en négatif.
TerminaleFonctions
Définition : Intégrale
Une intégrale se note \(\int_a^b f(x)\,dx\). Pour une fonction continue \(f\), elle s’obtient en prenant n’importe quelle primitive \(F\) et en calculant l’écart \(F(b)-F(a)\). Le résultat additionne la quantité \(f(x)\) tout au long de l’intervalle.
Géométriquement, c’est l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses : les parties au-dessus de l’axe comptent positivement, celles en dessous négativement. L’intégrale est linéaire et vérifie la relation de Chasles \(\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c\).
Comment le reconnaître
- Le symbole \(\int\) apparaît, avec des bornes en bas et en haut.
- On veut une aire, un cumul (distance depuis une vitesse), une valeur moyenne ou un volume.
- On connaît une primitive ou l’on doit en chercher une.
- La courbe passe sous l’axe horizontal sur une partie de l’intervalle d’intégration.
La méthode
- Vérifier que \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\).
- Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) et noter \([F(x)]_a^b\).
- Calculer \(F(b)-F(a)\) en gardant les parenthèses autour des nombres négatifs.
- Interpréter : le signe indique de quel côté de l’axe la courbe domine ; pour une aire, découper selon le signe de \(f\).
Intégrale : exemple corrigé
Énoncé
Calculer \(\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx\).
Corrigé
Une primitive de \(f(x)=3x^2-4x+1\) est \(F(x)=x^3-2x^2+x\).
Alors \(\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)=(8-8+2)-0=\) \(2\). Attention : \(f\) est négative entre \(\frac{1}{3}\) et \(1\), donc l’aire géométrique est supérieure à ce résultat.
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(\int_1^4 (2x+3)\,dx\).
Voir la réponse
\([x^2+3x]_1^4=(16+12)-(1+3)=24\).
Question 2
Sachant que \(\int_0^5 f=8\) et \(\int_0^3 f=5\), que vaut \(\int_3^5 f\) ?
Voir la réponse
Par Chasles, \(\int_3^5 f=8-5=3\).
Ne pas confondre Intégrale et Primitive
Une primitive est une fonction \(F\) dont la dérivée est \(f\) ; elle est définie à une constante près. L’intégrale est un nombre, la différence \(F(b)-F(a)\), qui ne dépend pas de la constante choisie.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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