Primitive
En bref : Une primitive de f est une fonction dont la dérivée redonne exactement f ; si l’on en connaît une, toutes les autres s’en déduisent en ajoutant une constante.
TerminaleFonctions
Définition : Primitive
Une primitive d’une fonction \(f\), sur un intervalle, est une fonction dérivable \(F\) qui vérifie \(F^{\prime}=f\). Chercher \(F\) revient à remonter le chemin de la dérivation, comme on retrouve une distance à partir d’une vitesse.
Si \(F\) convient, alors \(F+C\) convient aussi pour tout réel \(C\), et il n’existe pas d’autre solution. Une condition comme \(F(2)=9\) fixe la constante. Toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de solutions de ce type.
Comment le reconnaître
- L’énoncé dit « déterminer une primitive de \(f\) » ou « celle qui s’annule en \(1\) ».
- On doit calculer une intégrale sans passer par un découpage en aires.
- On connaît la vitesse et l’on veut la position, ou le débit et le volume écoulé.
- Une égalité du type \(F^{\prime}(x)=f(x)\) est posée.
La méthode
- Reconnaître les formes usuelles : \(x^n\) devient \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\), \(e^{x}\) reste \(e^{x}\), \(\frac{1}{x}\) devient \(\ln x\).
- Traiter chaque terme séparément en gardant les coefficients constants.
- Ajouter la constante \(C\) et vérifier en dérivant le résultat.
- Si une condition est donnée, remplacer \(x\) par la valeur voulue pour calculer \(C\).
Primitive : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer la fonction \(F\), primitive de \(f(x)=3x^2-4x+5\), telle que \(F(2)=9\).
Corrigé
Terme à terme : \(F(x)=x^3-2x^2+5x+C\).
La condition donne \(F(2)=8-8+10+C=9\), donc \(C=-1\). On obtient \(F(x)=x^3-2x^2+5x-1\). Contrôle : \(F^{\prime}(x)=3x^2-4x+5\).
À toi de jouer
Question 1
Donner une primitive de \(g(x)=e^{x}+2x\).
Voir la réponse
\(G(x)=e^{x}+x^2\), ou cette expression plus une constante.
Question 2
Pourquoi \(x^2\) et \(x^2+7\) conviennent-elles toutes les deux pour \(2x\) ?
Voir la réponse
Elles ont la même dérivée \(2x\) : leur différence est une constante.
Ne pas confondre Primitive et Dérivée
La dérivée mesure comment une fonction varie ; l’opération inverse la reconstitue à partir de cette variation. Dériver donne un résultat unique, alors que remonter en arrière fournit toute une famille de fonctions qui diffèrent d’une constante.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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