Aire sous la courbe
En bref : L’aire sous la courbe mesure la surface comprise entre le graphe d’une fonction positive, l’axe horizontal et deux verticales x = a et x = b ; elle est égale à l’intégrale de f entre a et b.
TerminaleFonctions
Définition : Aire sous la courbe
L’aire sous la courbe d’une fonction \(f\) désigne la surface enfermée entre le graphe, l’axe des abscisses et les droites verticales \(x=a\) et \(x=b\), un peu comme la tôle découpée sous un toit incurvé.
Lorsque \(f\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\), cette surface vaut \(\int_a^b f(x)\,dx\), nombre obtenu avec une primitive \(F\) par \(F(b)-F(a)\). Le résultat s’exprime en unités d’aire, une unité d’aire étant celle du rectangle construit sur les deux unités des axes.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande l’aire d’une zone bornée par une courbe et l’axe des abscisses.
- On calcule une quantité cumulée : distance parcourue à partir d’une vitesse, volume écoulé à partir d’un débit.
- Une surface courbe est trop irrégulière pour être découpée en rectangles et triangles.
- Le sujet fournit une unité d’aire, par exemple \(1\) u.a. \(=2\) cm\(^2\).
La méthode
- Vérifier que \(f\) est continue et positive sur l’intervalle ; sinon, découper l’intervalle selon le signe de \(f\).
- Trouver une primitive \(F\) de \(f\).
- Calculer \(F(b)-F(a)\), en gardant des fractions exactes tant que possible.
- Convertir en unités de surface si l’énoncé le demande, en multipliant par l’aire d’une unité d’aire.
Aire sous la courbe : exemple corrigé
Énoncé
La coupe verticale d’un talus de bord de route est limitée par la courbe de \(f(x)=x^2+2\) (en mètres) et l’axe horizontal, pour \(x\) compris entre \(1\) et \(3\). Calculer l’aire de cette coupe.
Corrigé
La fonction est continue et positive. Une primitive est \(F(x)=\frac{x^3}{3}+2x\).
L’aire vaut \(F(3)-F(1)=(9+6)-\left(\frac{1}{3}+2\right)=15-\frac{7}{3}=\) \(\frac{38}{3}\approx 12{,}67\) m\(^2\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer l’aire sous la courbe de \(f(x)=4x\) entre \(0\) et \(3\), en unités d’aire.
Voir la réponse
\(\int_0^3 4x\,dx=[2x^2]_0^3=18\) u.a. (c’est aussi l’aire d’un triangle de base \(3\) et de hauteur \(12\)).
Question 2
Une unité d’aire vaut \(0{,}5\) cm\(^2\) et l’intégrale trouvée est \(14\). Quelle est l’aire en cm\(^2\) ?
Voir la réponse
\(14\times 0{,}5=7\) cm\(^2\).
Ne pas confondre Aire sous la courbe et Intégrale
L’intégrale est un nombre signé : si la fonction passe sous l’axe, la partie négative se soustrait. L’aire est toujours positive. Les deux coïncident seulement quand \(f\) est positive sur l’intervalle ; sinon on découpe et l’on additionne les valeurs absolues.
Pour aller plus loin
Cours
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Mots voisins
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