Médiane d’un triangle
En bref : La médiane d’un triangle est le segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé ; les trois médianes se croisent en un même point, le centre de gravité du triangle.
5èmeGéométrie plane
Définition : Médiane d'un triangle
La médiane d’un triangle \(ABC\) issue de \(A\) est le segment \([AM]\), où \(M\) est le milieu de \([BC]\). Elle joint donc un sommet au milieu du côté d’en face.
Chaque triangle possède trois médianes, une par sommet. Elles passent toutes par un même point \(G\), situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. Une médiane partage aussi le triangle en deux triangles de même aire, car ils ont la même hauteur et des bases égales.
Comment le reconnaître
- L’énoncé précise « le milieu de [BC] » puis demande de relier ce milieu au sommet opposé.
- On cherche le point d’équilibre d’un triangle découpé dans du carton.
- Deux petits traits de codage identiques marquent les deux moitiés d’un côté, avec un segment qui part du sommet d’en face.
- Il faut partager un triangle en deux parties de même aire sans rien mesurer d’autre.
La méthode
- Trouver le milieu du côté choisi : mesurer sa longueur et la diviser par \(2\), ou tracer sa médiatrice.
- Marquer ce point \(M\) et le coder avec deux traits identiques.
- Relier le sommet opposé à \(M\) à la règle : on obtient la médiane d’un triangle pour ce sommet.
- Recommencer avec un deuxième sommet ; le croisement des deux médianes donne le centre de gravité \(G\).
Médiane d'un triangle : exemple corrigé
Énoncé
Dans le triangle \(ABC\), la médiane \([AM]\) mesure \(9\) cm et \(G\) est le centre de gravité. On sait que \(BC = 11\) cm. Calculer \(BM\) et \(AG\).
Corrigé
\(M\) est le milieu de \([BC]\), donc \(BM = 11 \div 2 = 5{,}5\) cm.
Le centre de gravité se trouve aux deux tiers de la médiane à partir du sommet : \(AG = \dfrac{2}{3} \times 9 = 6\) cm. BM = 5,5 cm et AG = 6 cm.
À toi de jouer
Question 1
Une médiane du triangle \(DEF\) part de \(D\). Sur quel côté arrive-t-elle, et à quel endroit ?
Voir la réponse
Elle arrive sur le côté \([EF]\), exactement en son milieu.
Question 2
Un triangle d’aire \(36\) cm² est coupé par l’une de ses médianes. Quelle est l’aire de chaque morceau ?
Voir la réponse
Les deux triangles ont même aire : \(36 \div 2 = 18\) cm² chacun.
Ne pas confondre Médiane d'un triangle et Hauteur d'un triangle
La médiane vise le milieu du côté opposé, alors que la hauteur tombe à angle droit sur ce côté. Les deux partent d’un sommet, mais elles ne coïncident que dans des triangles particuliers, comme le triangle isocèle pour le sommet principal. Médiane : on coupe en deux ; hauteur : on mesure l’écart perpendiculaire.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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