Hauteur d’un triangle
En bref : Une hauteur d’un triangle est une droite tracée depuis un sommet, à angle droit sur le côté opposé ; la distance entre ce sommet et ce côté s’appelle aussi la hauteur.
5èmeGéométrie plane
Définition : Hauteur d'un triangle
Tracer la hauteur d’un triangle \(ABC\) issue de \(A\), c’est mener depuis \(A\) une perpendiculaire à la droite \((BC)\). Le point où elle rencontre cette droite s’appelle le pied de la hauteur.
Chaque triangle admet trois hauteurs, une par sommet. Quand un angle est obtus, deux d’entre elles tombent à l’extérieur de la figure : il faut prolonger un côté pour y appuyer l’équerre. La longueur de la hauteur est indispensable pour calculer l’aire.
Comment le reconnaître
- L’énoncé parle d’une perpendiculaire à un côté, menée depuis le sommet qui lui fait face.
- On veut l’aire d’un triangle et il manque la mesure prise à angle droit sur la base.
- Un codage d’angle droit apparaît, à l’intérieur ou à l’extérieur de la figure, au pied d’un trait issu d’un sommet.
- On cherche le point commun à trois droites perpendiculaires aux côtés.
La méthode
- Pour la hauteur d’un triangle, choisir le sommet de départ ; le côté d’en face devient la base.
- Appuyer un bord de l’équerre contre la base, ou contre son prolongement si l’angle est obtus.
- Faire coulisser l’équerre jusqu’à ce que son autre bord touche le sommet choisi.
- Tracer le trait, nommer le pied de la hauteur et coder l’angle droit.
Hauteur d'un triangle : exemple corrigé
Énoncé
Un jardinier trace un massif triangulaire \(ABC\) avec \(BC = 9{,}5\) m. La perpendiculaire menée de \(A\) à \((BC)\) mesure \(4\) m. Quelle est l’aire du massif ?
Corrigé
La base est \(BC\) et la hauteur associée est la perpendiculaire menée de \(A\) : elles vont bien ensemble.
Aire \(= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{9{,}5 \times 4}{2} = \dfrac{38}{2} = 19\). Le massif a une aire de 19 m².
À toi de jouer
Question 1
Combien un triangle a-t-il de hauteurs, et combien peuvent sortir de la figure ?
Voir la réponse
Il en a trois. Dans un triangle obtus, deux sortent de la figure, la troisième reste à l’intérieur.
Question 2
Un triangle a une base de \(12\) cm et une aire de \(42\) cm². Quelle est la hauteur correspondante ?
Voir la réponse
\(\dfrac{12 \times h}{2} = 42\), donc \(6h = 42\) et \(h = 7\) cm.
Ne pas confondre Hauteur d'un triangle et Médiatrice
La hauteur démarre au sommet et rencontre le côté opposé à angle droit, mais pas forcément à son centre. La médiatrice, elle, croise un côté à angle droit et exactement à égale distance de ses deux bouts ; elle ne passe par le sommet opposé que dans un triangle isocèle. L’une sert aux aires, l’autre aux distances.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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