Sujet du brevet de maths 2009 : France

Activités numériques 12 points

Exercice 1

1. Calculer \(A\)

\[A=\dfrac{8+3\times 4}{1+2\times 1{,}5}\]

2. Pour calculer \(A\) un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous :

Expliquer pourquoi il n’obtient pas le bon résultat.

Exercice 2

Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.

Chacune tire au hasard une bille de son sac.

1. Le contenu des sacs est le suivant :

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?

2. On souhaite qu’Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.

Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Aline ?

Exercice 3

On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\).

L’une d’entre elles est la représentation graphique d’une fonction linéaire.

Une autre est la représentation graphique de la fonction \(f\) telle que \(f : x\mapsto -0{,}4x+3\)

1. Lire graphiquement les coordonnées du point \(B\).

2. Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe \(C_3\) avec l’axe des abscisses.

3. Laquelle de ces représentations est celle de la fonction linéaire ? Justifier.

4. Laquelle de ces représentations est celle de la fonction \(f\) ? Justifier.

5. Quel est l’antécédent de 1 par la fonction \(f\) ? Justifier par un calcul.

6. \(A\) est le point de coordonnées \((4{,}6\ ;\ 1{,}2)\). \(A\) appartient-il à \(C_2\) ? Justifier par un calcul.

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

L’unité de longueur est le centimètre.

\(ABC\) est un triangle tel que : \(AB=16\) cm, \(AC=14\) cm et \(BC=8\) cm.

1. (a) Tracer en vraie grandeur le triangle \(ABC\) sur la copie.

(b) Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Justifier.

2. Le mathématicien Héron d’Alexandrie (1^er siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l’aire d’un triangle : en notant \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des trois côtés et \(p\) son périmètre, l’aire \(\mathcal{A}\) du triangle est donnée par la formule :

\[\mathcal{A}=\sqrt{\dfrac{p}{2}\left(\dfrac{p}{2}-a\right)\left(\dfrac{p}{2}-b\right)\left(\dfrac{p}{2}-c\right)}.\]

Calculer à l’aide de cette formule l’aire du triangle \(ABC\).

Donner le résultat arrondi au cm² près.

Exercice 2

Dans cet exercice, on étudie la figure ci-contre où :

• \(ABC\) est un triangle isocèle tel que \(AB=AC=4\) cm
• \(E\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\).

Partie 1 : On se place dans le cas particulier où la mesure de \(\widehat{ABC}\) est 43°.

1. Construire la figure en vraie grandeur.

2. Quelle est la nature du triangle \(BCE\) ? Justifier.

3. Prouver que l’angle \(\widehat{EAC}\) mesure 86°.

Partie 2 : Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de \(\widehat{ABC}\) n’est pas donnée.

Jean affirme que pour n’importe quelle valeur de \(\widehat{ABC}\), on a : \(\widehat{EAC}=2\widehat{ABC}\).

Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.

Problème 12 points

On considère un triangle \(ABC\) tel que : \(AB=17{,}5\) cm ; \(BC=14\) cm ; \(AC=10{,}5\) cm.

Partie 1

1. Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).

2. Soit \(P\) un point du segment \([BC]\).

La parallèle à la droite \((AC)\) passant par \(P\) coupe le segment \([AB]\) en \(R\).

La parallèle à la droite \((BC)\) passant par \(R\) coupe le segment \([AC]\) en \(S\).

Montrer que le quadrilatère \(PRSC\) est un rectangle.

La figure n’est pas en vraie grandeur

3. Dans cette question, on suppose que le point \(P\) est situé à 5 cm du point \(B\).

a) Calculer la longueur \(PR\).

b) Calculer l’aire du rectangle \(PRSC\).

Partie 2

On déplace le point \(P\) sur le segment \([BC]\) et on souhaite savoir quelle est la position du point \(P\) pour laquelle l’aire du rectangle \(PRSC\) est maximale.

1. L’utilisation d’un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :

Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.

Justifier par un calcul la valeur trouvée pour \(BP=10\) cm.

2. Un logiciel a permis d’obtenir la représentation graphique suivante :

Aire du rectangle \(PRSC\) en fonction de la longueur \(BP\)

À l’aide d’une lecture graphique, donner :

a) Les valeurs de \(BP\) pour lesquelles le rectangle \(PRSC\) a une aire de 18 cm².

b) La valeur de \(BP\) pour laquelle l’aire du rectangle semble maximale.

c) Un encadrement à 1 cm² près de l’aire maximale du rectangle \(PRSC\).

Partie 3

1. Exprimer \(PC\) en fonction de \(BP\).

2. Démontrer que \(PR\) est égale à \(0{,}75\times BP\).

3. Pour quelle valeur de \(BP\) le rectangle \(PRSC\) est-il un carré ?

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