Corrigé du bac de maths 2021 : France, jour 1

L'énoncé intégral se lit sur la page du sujet : gardez-le ouvert à côté pour suivre chaque réponse. Les autres épreuves sont sur la page bac de maths.

Corrigé de l’exercice 1 (bac 2021, France, jour 1) 4 points

Fonction exponentielle, dérivée d'un quotient, variations, limites par croissance comparée, convexité

1. Expression de \(f'(x)\).

Ensuite, on dérive un quotient \(\dfrac{v}{w}\) avec \(v(x) = \text{e}^{2x}\), donc \(v'(x) = 2\text{e}^{2x}\), et \(w(x) = x\), donc \(w'(x) = 1\). La formule \(\left(\dfrac{v}{w}\right)' = \dfrac{v'w - vw'}{w^2}\) donne :

\[ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} \times x - \text{e}^{2x} \times 1}{x^2} = \dfrac{\text{e}^{2x}(2x - 1)}{x^2}. \]

Réponse c.

2. Comportement de \(f\).

Sur \(]0\,;\,+\infty[\), le numérateur contient \(\text{e}^{2x} \gt 0\) et le dénominateur \(x^2 \gt 0\) : \(f'(x)\) a donc le signe de \(2x - 1\). Il est négatif pour \(x \lt \frac{1}{2}\), nul en \(\frac{1}{2}\) et positif pour \(x \gt \frac{1}{2}\). La fonction \(f\) décroît sur \(\left]0\,;\,\frac{1}{2}\right]\) puis croît sur \(\left[\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\) : elle n'est pas monotone, et elle atteint en \(\frac{1}{2}\) sa plus petite valeur \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\text{e}\).

Réponse c : \(f\) admet un minimum en \(\frac{1}{2}\).

3. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

Par ailleurs, on fait apparaître le quotient de référence en écrivant \(f(x) = 2 \times \dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X = 2x\) tend aussi vers \(+\infty\), et par croissance comparée \(\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{X}}{X} = +\infty\). Par composition puis produit par 2, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). La réponse d n'a d'ailleurs aucun sens : une limite ne peut pas dépendre de \(x\).

Réponse a : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

4. Convexité de \(f\).

Pour \(x \gt 0\), on a \(2\text{e}^{2x} \gt 0\) et \(x^3 \gt 0\), donc \(f''(x)\) a le signe du trinôme \(2x^2 - 2x + 1\). Son discriminant vaut \(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 \times 1 = -4 \lt 0\) : ce trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de son coefficient dominant \(2\), donc il est strictement positif. Ainsi \(f''(x) \gt 0\) sur tout l'intervalle : \(f\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\), sans point d'inflexion (ce qui élimine a, c et d).

Réponse b : \(f\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, France, jour 1) 5 points

Probabilités conditionnelles, arbre pondéré, probabilités totales, loi binomiale, espérance

Partie I

1. Arbre pondéré.

Le premier niveau sépare les pièces défectueuses des autres, avec \(p(D) = 0{,}05\) et \(p(\overline{D}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\). Le second niveau porte les résultats du test ; on complète chaque paire de branches pour que la somme fasse 1 : \(p_D(\overline{T}) = 1 - 0{,}98 = 0{,}02\) et \(p_{\overline{D}}(T) = 1 - 0{,}97 = 0{,}03\).

• \(D\) (0,05)
  • \(T\) (0,98)
  • \(\overline{T}\) (0,02)
• \(\overline{D}\) (0,95)
  • \(T\) (0,03)
  • \(\overline{T}\) (0,97)

Arbre : \(D\) 0,05 puis \(T\) 0,98 / \(\overline{T}\) 0,02 ; \(\overline{D}\) 0,95 puis \(T\) 0,03 / \(\overline{T}\) 0,97.

2. a) Probabilité que la pièce soit défectueuse et testée positive.

Puis on cherche \(p(D \cap T)\) : on multiplie les probabilités le long du chemin \(D\) puis \(T\).

\[ p(D \cap T) = p(D) \times p_D(T) = 0{,}05 \times 0{,}98 = 0{,}049. \]

En conclusion : \(p(D \cap T) = 0{,}049\).

2. b) Montrer que \(p(T) = 0{,}0775\).

Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l'univers. Deux chemins mènent à \(T\) ; le second a pour probabilité \(p(\overline{D} \cap T) = 0{,}95 \times 0{,}03 = 0{,}0285\). La formule des probabilités totales donne alors :

\[ p(T) = p(D \cap T) + p(\overline{D} \cap T) = 0{,}049 + 0{,}0285 = 0{,}0775. \]

Par ailleurs, on retrouve bien \(p(T) = 0{,}0775\).

3. Valeur prédictive positive et efficacité du test.

La valeur prédictive positive est la probabilité conditionnelle \(p_T(D)\), c'est-à-dire l'arbre « lu à l'envers ». Par définition :

\[ p_T(D) = \dfrac{p(D \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0{,}049}{0{,}0775} \approx 0{,}632. \]

Cette valeur est nettement inférieure au seuil \(0{,}95\) : parmi les pièces testées positives, un peu plus d'une sur trois est en réalité saine. Cela vient de ce que les pièces saines, très nombreuses, fournissent beaucoup de faux positifs malgré un taux de 3 %.

En conclusion : \(p_T(D) \approx 0{,}632 \lt 0{,}95\), le test n'est pas efficace.

Partie II

1. Loi de \(X\).

Examiner une pièce est une épreuve de Bernoulli dont le succès « la pièce est défectueuse » a pour probabilité \(p = 0{,}05\). Le prélèvement de 20 pièces est assimilé à un tirage avec remise, donc on répète 20 fois cette épreuve de façon identique et indépendante. La variable \(X\) compte le nombre de succès.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = 0{,}05\).

2. Probabilité d'au moins une pièce défectueuse.

Ensuite, on passe par l'évènement contraire « aucune pièce défectueuse » : \(p(X = 0) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\). Donc :

\[ p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0{,}95^{20} \approx 0{,}6415. \]

En conclusion : \(p(X \geqslant 1) \approx 0{,}64\).

3. Espérance de \(X\) et interprétation.

Pour une loi binomiale, \(E(X) = np = 20 \times 0{,}05 = 1\). Interprétation : si l'on prélève un très grand nombre d'échantillons de 20 pièces, on trouve en moyenne une pièce défectueuse par échantillon.

En conclusion : \(E(X) = 1\), soit en moyenne une pièce défectueuse par lot de 20.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2021, France, jour 1) 6 points

Modèle affine, suite arithmético-géométrique, récurrence, convergence monotone, suite géométrique auxiliaire, algorithme de seuil

I – Premier modèle

Température au bout de 25 minutes et pertinence du modèle.

En 10 minutes, la température passe de \(-19\) °C à \(1{,}3\) °C, soit un gain de \(1{,}3 - (-19) = 20{,}3\) °C. Si ce gain est le même chaque minute, il vaut \(20{,}3 \div 10 = 2{,}03\) °C par minute. Au bout de 25 minutes, la température serait donc :

\[ -19 + 25 \times 2{,}03 = -19 + 50{,}75 = 31{,}75 \text{ °C}. \]

Or un gâteau posé sur une terrasse à 25 °C ne peut pas devenir plus chaud que l'air qui l'entoure. Le modèle aboutit à une situation physiquement impossible.

En conclusion : ce modèle prévoit \(31{,}75\) °C au bout de 25 minutes, il n'est pas pertinent.

II – Second modèle

1. Justifier la relation \(T_{n+1} = 0{,}94\,T_n + 1{,}5\).

Puis on développe le membre de droite : \(-0{,}06 \times (T_n - 25) = -0{,}06\,T_n + 1{,}5\). Ensuite, on isole ensuite \(T_{n+1}\) en ajoutant \(T_n\) aux deux membres :

\[ T_{n+1} = T_n - 0{,}06\,T_n + 1{,}5 = 0{,}94\,T_n + 1{,}5. \]

Pour tout entier naturel \(n\), \(T_{n+1} = 0{,}94\,T_n + 1{,}5\).

2. Calcul de \(T_1\) et \(T_2\).

Alors, on applique la relation avec \(n = 0\) puis \(n = 1\), en gardant la valeur exacte de \(T_1\) pour calculer \(T_2\) :

\[ T_1 = 0{,}94 \times (-19) + 1{,}5 = -17{,}86 + 1{,}5 = -16{,}36 \]

\[ T_2 = 0{,}94 \times (-16{,}36) + 1{,}5 = -15{,}3784 + 1{,}5 = -13{,}8784 \]

En conclusion : \(T_1 \approx -16{,}4\) °C et \(T_2 \approx -13{,}9\) °C.

3. Récurrence : \(T_n \leqslant 25\), puis interprétation.

Notons \(P(n)\) la propriété « \(T_n \leqslant 25\) ».

Initialisation. \(T_0 = -19\) et \(-19 \leqslant 25\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(T_n \leqslant 25\). Ensuite, on multiplie par \(0{,}94\), qui est positif, donc le sens de l'inégalité est conservé : \(0{,}94\,T_n \leqslant 23{,}5\). En ajoutant \(1{,}5\) : \(0{,}94\,T_n + 1{,}5 \leqslant 25\), c'est-à-dire \(T_{n+1} \leqslant 25\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : d'après le principe de récurrence, \(T_n \leqslant 25\) pour tout entier naturel \(n\).

Ce résultat était prévisible : en se réchauffant au contact de l'air à 25 °C, les gâteaux ne peuvent pas dépasser la température ambiante.

Pour tout entier naturel \(n\), \(T_n \leqslant 25\), ce qui traduit que les gâteaux ne dépassent jamais la température de la terrasse.

Question 4

4. Sens de variation de \((T_n)\).

Ensuite, on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs, donnée directement par l'énoncé : \(T_{n+1} - T_n = -0{,}06\,(T_n - 25)\). D'après la question 3, \(T_n - 25 \leqslant 0\) ; en multipliant par \(-0{,}06\), nombre négatif, on obtient \(-0{,}06\,(T_n - 25) \geqslant 0\). Donc \(T_{n+1} - T_n \geqslant 0\) pour tout \(n\).

En conclusion : la suite \((T_n)\) est croissante.

5. Convergence de \((T_n)\).

La suite \((T_n)\) est croissante (question 4) et majorée par 25 (question 3). D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge.

En conclusion : la suite \((T_n)\) converge vers une limite \(\ell \leqslant 25\).

6. a) Nature de la suite \((U_n)\).

Pour tout entier naturel \(n\), on exprime \(U_{n+1}\) à l'aide de \(U_n\) :

\[ U_{n+1} = T_{n+1} - 25 = 0{,}94\,T_n + 1{,}5 - 25 = 0{,}94\,T_n - 23{,}5 = 0{,}94\,(T_n - 25) = 0{,}94\,U_n. \]

La factorisation fonctionne car \(0{,}94 \times 25 = 23{,}5\). Le premier terme vaut \(U_0 = T_0 - 25 = -19 - 25 = -44\).

En conclusion : \((U_n)\) est géométrique de raison \(q = 0{,}94\) et de premier terme \(U_0 = -44\).

6. b) Forme explicite de \(T_n\).

Le terme général d'une suite géométrique est \(U_n = U_0 \times q^n\), soit \(U_n = -44 \times 0{,}94^n\). Comme \(T_n = U_n + 25\), on obtient la formule annoncée.

Pour tout entier naturel \(n\), \(T_n = -44 \times 0{,}94^n + 25\).

Question 6 c

6. c) Limite de \((T_n)\) et interprétation.

Comme \(0 \lt 0{,}94 \lt 1\), on a \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}94^n = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} -44 \times 0{,}94^n = 0\) et, par somme, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} T_n = 25\). Avec le temps, la température des gâteaux se rapproche de plus en plus de celle de la terrasse, sans jamais la dépasser.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} T_n = 25\) : les gâteaux finissent à la température ambiante.

7. a) Température au bout d'une demi-heure.

Une demi-heure correspond à \(n = 30\). Avec la formule explicite :

\[ T_{30} = -44 \times 0{,}94^{30} + 25 \approx -44 \times 0{,}1563 + 25 \approx 18{,}12. \]

En conclusion : au bout de 30 minutes, les gâteaux sont à environ 18 °C.

7. b) Moment où la température atteint 10 °C.

La suite étant croissante, il suffit de repérer le premier terme qui atteint 10. À la calculatrice (mode suite ou tableau de valeurs) : \(T_{17} \approx 9{,}63\) et \(T_{18} \approx 10{,}55\). Ensuite, on peut le confirmer par le calcul : \(T_n \geqslant 10 \iff 0{,}94^n \leqslant \frac{15}{44} \iff n \geqslant \dfrac{\ln(15/44)}{\ln(0{,}94)} \approx 17{,}39\), le sens change car \(\ln(0{,}94) \lt 0\).

En conclusion : Cécile doit déguster son gâteau entre 17 et 18 minutes après la sortie du congélateur.

7. c) Compléter le programme Python.

La variable T démarre à la température initiale \(-19\). Tant que la température reste strictement inférieure à 10, on calcule la température de la minute suivante avec la relation de récurrence et on augmente le compteur n de 1. Dès que T atteint 10, la boucle s'arrête et on renvoie n.

def seuil() :
    n=0
    T=-19
    while T<10 :
        T=0.94*T+1.5
        n=n+1
    return n

L'appel seuil() renvoie 18, en accord avec la question 7. b).

Corrigé de l’exercice A (bac 2021, France, jour 1) 5 points

Représentation paramétrique d'une droite, distance et minimisation d'un trinôme, produit scalaire, orthogonalité droite-plan, volume d'une pyramide

1. Représentation paramétrique de \(d\).

Un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) appartient à \(d\) si et seulement si \(\overrightarrow{OM}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{u}\), c'est-à-dire s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{OM} = t\,\overrightarrow{u}\). Avec \(O(0\,;\,0\,;\,0)\) et \(\overrightarrow{u}(1\,;\,1\,;\,0)\) :

\[ d : \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = t \\ z = 0 \end{array} \right. \quad t \in \mathbb{R}. \]

Une représentation paramétrique de \(d\) est \(x = t\), \(y = t\), \(z = 0\), avec \(t \in \mathbb{R}\).

2. a) Montrer que \(AM^2 = 2t^2 - 8t + 14\).

Le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) a pour coordonnées \((t - 1\,;\,t - 3\,;\,0 - 2)\). Le repère étant orthonormé, le carré de la distance est la somme des carrés des coordonnées :

\[ AM^2 = (t-1)^2 + (t-3)^2 + (-2)^2 = (t^2 - 2t + 1) + (t^2 - 6t + 9) + 4 = 2t^2 - 8t + 14. \]

Donc on obtient bien \(AM^2 = 2t^2 - 8t + 14\).

2. b) Montrer que \(M_0(2\,;\,2\,;\,0)\) réalise la distance minimale.

La fonction \(t \mapsto 2t^2 - 8t + 14\) est un trinôme de coefficient dominant \(2 \gt 0\) : sa parabole est tournée vers le haut et son minimum est atteint en \(t = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{8}{4} = 2\). Ensuite, on peut aussi l'écrire sous forme canonique : \(2t^2 - 8t + 14 = 2(t - 2)^2 + 6\), qui est toujours supérieur ou égal à 6, avec égalité seulement pour \(t = 2\). Le point de \(d\) de paramètre 2 est \((2\,;\,2\,;\,0)\), c'est-à-dire \(M_0\). La distance minimale vaut \(AM_0 = \sqrt{6}\).

En conclusion : \(AM\) est minimale pour \(t = 2\), donc au point \(M_0(2\,;\,2\,;\,0)\), et \(AM_0 = \sqrt{6}\).

Question 3

3. Orthogonalité de \((AM_0)\) et \(d\).

Alors, on compare un vecteur directeur de chaque droite par le produit scalaire. \(\overrightarrow{AM_0}\) a pour coordonnées \((2 - 1\,;\,2 - 3\,;\,0 - 2) = (1\,;\,-1\,;\,-2)\), et :

\[ \overrightarrow{AM_0} \cdot \overrightarrow{u} = 1 \times 1 + (-1) \times 1 + (-2) \times 0 = 0. \]

Le produit scalaire est nul : les droites \((AM_0)\) et \(d\) sont orthogonales (elles sont même perpendiculaires en \(M_0\)).

4. \(M_0\) est le point du plan \((AA'M_0)\) le plus proche de O.

Idée : montrer que \((OM_0)\) est perpendiculaire au plan \((AA'M_0)\) ; alors \(M_0\) sera le projeté orthogonal de O sur ce plan, et le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche.

Donc on a \(\overrightarrow{OM_0}(2\,;\,2\,;\,0)\), \(\overrightarrow{M_0A}(-1\,;\,1\,;\,2)\) et \(\overrightarrow{M_0A'}(-1\,;\,1\,;\,0)\). Ces deux derniers vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs troisièmes coordonnées sont 2 et 0 alors que les deux premières sont égales), ils dirigent donc le plan \((AA'M_0)\). Or :

\[ \overrightarrow{OM_0} \cdot \overrightarrow{M_0A} = -2 + 2 + 0 = 0 \quad \text{et} \quad \overrightarrow{OM_0} \cdot \overrightarrow{M_0A'} = -2 + 2 + 0 = 0. \]

Le vecteur \(\overrightarrow{OM_0}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est normal au plan \((AA'M_0)\). Comme \(M_0\) appartient à ce plan, c'est le projeté orthogonal de O sur le plan. Pour tout autre point \(N\) du plan, le triangle \(OM_0N\) est rectangle en \(M_0\), et le théorème de Pythagore donne \(ON^2 = OM_0^2 + M_0N^2 \gt OM_0^2\).

En conclusion : \(M_0\) est le point du plan \((AA'M_0)\) le plus proche de O, à la distance \(OM_0 = 2\sqrt{2}\).

Question 5

5. Volume de la pyramide \(OM_0A'A\).

Par ailleurs, on prend pour base le triangle \(AA'M_0\) et pour hauteur associée \(OM_0\), puisque la question 4 montre que \((OM_0)\) est perpendiculaire au plan de cette base.

Le triangle \(AA'M_0\) est rectangle en \(A'\) : \(\overrightarrow{A'A}(0\,;\,0\,;\,2)\) et \(\overrightarrow{A'M_0}(1\,;\,-1\,;\,0)\) ont un produit scalaire nul. Ses côtés de l'angle droit mesurent \(AA' = 2\) et \(A'M_0 = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), d'où \(\mathcal{B} = \dfrac{2 \times \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). La hauteur vaut \(h = OM_0 = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\).

\[ V = \dfrac{1}{3} \times \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = \dfrac{4}{3}. \]

En conclusion : le volume de la pyramide \(OM_0A'A\) est \(\dfrac{4}{3}\) unité de volume.

Corrigé de l’exercice B (bac 2021, France, jour 1) 5 points

Équation différentielle \(y' = y + h\), solution particulière, fonction exponentielle, variations, convexité

1. \(u\) est une solution particulière de \((E)\).

Alors, on dérive le produit \(u(x) = x^2 \times \text{e}^x\) : \(u'(x) = 2x\,\text{e}^x + x^2\,\text{e}^x\). Par ailleurs, on reconnaît \(x^2\text{e}^x = u(x)\), donc \(u'(x) = u(x) + 2x\,\text{e}^x\) pour tout réel \(x\).

La fonction \(u\) vérifie \(u' = u + 2x\text{e}^x\) : c'est une solution particulière de \((E)\).

2. a) Si \(f\) est solution de \((E)\), alors \(g\) est solution de \(y' = y\).

Supposons \(f'(x) = f(x) + 2x\,\text{e}^x\) pour tout \(x\). La fonction \(g = f - u\) est dérivable comme différence de fonctions dérivables, et en utilisant la question 1 :

\[ g'(x) = f'(x) - u'(x) = \left(f(x) + 2x\text{e}^x\right) - \left(u(x) + 2x\text{e}^x\right) = f(x) - u(x) = g(x). \]

Les termes \(2x\text{e}^x\) se compensent : \(g' = g\), donc \(g\) est solution de \(y' = y\).

2. b) Résolution de \((E)\).

Les solutions de \(y' = y\) sur \(\mathbb{R}\) sont les fonctions \(x \mapsto C\,\text{e}^x\), où \(C\) est une constante réelle. D'après la question précédente et sa réciproque admise, \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(g = f - u\) est de cette forme, c'est-à-dire \(f(x) = C\,\text{e}^x + x^2\,\text{e}^x\).

Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto \left(x^2 + C\right)\text{e}^x\), avec \(C \in \mathbb{R}\).

3. a) Signe de \(u'(x)\).

Ensuite, on factorise : \(u'(x) = (x^2 + 2x)\,\text{e}^x = x(x + 2)\,\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^x \gt 0\), le signe de \(u'(x)\) est celui du trinôme \(x(x+2)\), de racines \(-2\) et \(0\) et de coefficient dominant positif : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

\(u'(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;\,-2[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(u'(x) \lt 0\) sur \(]-2\,;\,0[\), et \(u'(-2) = u'(0) = 0\).

Question 3 b

3. b) Tableau de variations de \(u\).

Alors, on calcule les valeurs aux points où la dérivée s'annule : \(u(-2) = (-2)^2\text{e}^{-2} = 4\text{e}^{-2} \approx 0{,}54\) et \(u(0) = 0\).

\(u\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-2]\), décroissante sur \([-2\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un maximum local \(4\text{e}^{-2}\) en \(-2\) et un minimum \(0\) en \(0\).

3. c) Plus grand intervalle où \(u\) est concave.

Puis on dérive \(u'(x) = (x^2 + 2x)\,\text{e}^x\) comme un produit : \(u''(x) = (2x + 2)\,\text{e}^x + (x^2 + 2x)\,\text{e}^x = (x^2 + 4x + 2)\,\text{e}^x\). La fonction \(u\) est concave là où \(u''\) est négative, c'est-à-dire là où \(x^2 + 4x + 2 \leqslant 0\).

Le discriminant vaut \(\Delta = 16 - 8 = 8\), d'où deux racines \(x_1 = \dfrac{-4 - 2\sqrt{2}}{2} = -2 - \sqrt{2}\) et \(x_2 = -2 + \sqrt{2}\). Le coefficient dominant étant positif, le trinôme est négatif entre ses racines.

En conclusion : \(u\) est concave sur \(\left[-2 - \sqrt{2}\,;\,-2 + \sqrt{2}\right]\), soit environ \([-3{,}41\,;\,-0{,}59]\) ; ses points d'inflexion ont pour abscisses \(-2 \pm \sqrt{2}\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Pour étudier la convexité, on ramène le signe de \(f''\) à celui d'un trinôme : un discriminant négatif signifie un signe constant, donc aucune inflexion.
• Une valeur prédictive positive est une probabilité « sachant \(T\) » : on la calcule avec \(p(D \cap T)\) divisé par \(p(T)\) obtenu par les probabilités totales, et elle peut être faible même avec un test fiable si le défaut est rare.
• Pour une suite \(T_{n+1} = aT_n + b\), la suite \(U_n = T_n - \ell\), où \(\ell\) est le point fixe, est géométrique de raison \(a\) : c'est la clé de la formule explicite et de la limite.
• Dans une récurrence avec inégalités, préciser à chaque étape le signe du nombre par lequel on multiplie ; une suite croissante et majorée converge.
• Pour trouver le point d'une droite le plus proche d'un point, on minimise \(AM^2\), trinôme en \(t\) ; le point obtenu est le pied de la perpendiculaire, ce que confirme un produit scalaire nul.
• Pour résoudre \(y' = y + h\), on ajoute une solution particulière à la solution générale \(C\text{e}^x\) de \(y' = y\).

Revenir à l'énoncé du bac de maths 2021 (France, jour 1) · Tous les sujets du bac de maths

Présentation du corrigé du bac 2021, France, jour 1

Ce corrigé du bac 2021, France, jour 1 du 7 juin 2021 détaille les cinq exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (4 points) porte sur : fonction exponentielle, dérivée d'un quotient, variations, limites par croissance comparée, convexité. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) aborde : probabilités conditionnelles, arbre pondéré, probabilités totales, loi binomiale, espérance. Puis, la correction de l'exercice 3 (6 points) aborde : modèle affine, suite arithmético-géométrique, récurrence, convergence monotone, suite géométrique auxiliaire, algorithme de seuil. Puis, la correction de l'exercice A (5 points) traite : représentation paramétrique d'une droite, distance et minimisation d'un trinôme, produit scalaire, orthogonalité droite-plan, volume d'une pyramide. Enfin, la correction de l'exercice B (5 points) traite : équation différentielle, solution particulière, fonction exponentielle, variations, convexité.

Lisez chaque solution en vous demandant pourquoi telle méthode s'impose. En effet, c'est ce raisonnement qui resservira sur un autre sujet. Par ailleurs, refaites seul les calculs les plus longs sans regarder la rédaction.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2021, France, jour 1

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

Les autres corrigés de 2021

• Corrigé France, mars, sujet 1
• Corrigé France, jour 2
• Corrigé France, mars, sujet 2
• Corrigé Amérique du Nord, mai
• Corrigé Centres étrangers, jour 1
• Corrigé Centres étrangers, jour 2
• Corrigé France, septembre, jour 1
• Corrigé France, septembre, jour 2

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du bac de maths 2021 : France, jour 1» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 200 881 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.