Corrigé du brevet de maths 2018 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2018 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé septembre 2018
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé septembre 2018 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Course, probabilités et statistiques » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Diviseurs premiers » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Allure et vitesse » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Abeilles et miel » (exercice 4). En outre, la correction reprend « Scratch et homothétie » (exercice 5).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Programme de calcul » (exercice 6). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Vitesse ascensionnelle » (exercice 7).
Ainsi, le corrigé corrigé septembre 2018 te fait revoir les probabilités, la médiane et les statistiques, le tableur, les aires et les pourcentages, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de l’exercice 1 (septembre 2018) : dossards, probabilités et statistiques
Partie 1
1. Il y a 32 femmes sur 80 participants. La proportion de femmes vaut \(\dfrac{32}{80} = 0{,}4\), et \(0{,}4 = \dfrac{40}{100}\).
Les femmes représentent 40 % des participants.
2. Le dossard est tiré au hasard parmi les 80 : chaque dossard a la même probabilité \(\dfrac{1}{80}\) d’être choisi.
a. Les dossards verts sont ceux des 48 hommes : \(P(V) = \dfrac{48}{80} = \dfrac{3}{5}\).
\(P(V) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
b. Ensuite, on compte les dossards dont le numéro est un multiple de 10. Chez les femmes (numéros 1 à 32) : 10, 20 et 30, soit 3 dossards. Chez les hommes (numéros 1 à 48) : 10, 20, 30 et 40, soit 4 dossards. Au total, 7 dossards sur 80.
\(P(M) = \dfrac{7}{80}\) (soit 0,0875).
c. L’annonce de l’animateur réduit les possibilités : le dossard tiré est forcément l’un des 7 dossards comptés à la question précédente, qui restent équiprobables. Parmi eux, 3 appartiennent à des femmes.
La probabilité que le dossard appartienne à une femme est alors \(\dfrac{3}{7}\).
Partie 2
1. La série compte 20 valeurs, un nombre pair. La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, la 10e et la 11e de la liste rangée : 1979 et 1981.
\[\dfrac{1979 + 1981}{2} = 1980\]
Ainsi, 10 coureurs sont nés avant 1980 et 10 après.
La médiane de la série est 1980.
2. Les années de naissance occupent les cellules B2 à B21. Puis on peut utiliser la fonction moyenne du tableur ou diviser la somme par 20.
Formule en B23 : =MOYENNE(B2:B21), ou encore =SOMME(B2:B21)/20.
3. Non, c’est une coïncidence propre à cette série. Un contre-exemple suffit : la série 1 ; 2 ; 9 a pour médiane 2 (la valeur du milieu) et pour moyenne \(\dfrac{1 + 2 + 9}{3} = 4\). La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, alors que la médiane ne dépend que du rang des valeurs.
La moyenne et la médiane d’une série ne sont pas égales en général.
Corrigé de l’exercice 2 : diviseurs premiers
1. La décomposition \(588 = 2^2 \times 3 \times 7^2\) fait apparaître tous les nombres premiers qui divisent 588 : ce sont les facteurs de la décomposition.
Les diviseurs premiers de 588 sont 2, 3 et 7.
2. a. Alors on écrit \(27\,000\,000 = 27 \times 1\,000\,000\). Or \(27 = 3^3\) et \(1\,000\,000 = 10^6 = (2 \times 5)^6 = 2^6 \times 5^6\).
\[27\,000\,000 = 2^6 \times 3^3 \times 5^6\]
Contrôle : \(64 \times 27 \times 15\,625 = 27\,000\,000\).
La décomposition est \(27\,000\,000 = 2^6 \times 3^3 \times 5^6\).
b. Les diviseurs premiers de 27 000 000 sont 2, 3 et 5.
3. Un nombre impair n’est pas divisible par 2 : ses diviseurs premiers sont donc à choisir parmi 3, 5, 7, 11, … Le nombre cherché doit être divisible par trois nombres premiers différents, donc par leur produit. Pour que ce produit soit le plus petit possible, on prend les trois plus petits nombres premiers impairs, 3, 5 et 7, chacun une seule fois :
\[3 \times 5 \times 7 = 105\]
Tout autre choix de trois premiers impairs distincts donne un produit plus grand, et ajouter des puissances ne fait qu’augmenter le nombre.
Le plus petit entier impair ayant trois diviseurs premiers différents est 105.
Corrigé de l’exercice 3 : allure et vitesse du coureur
1. Bob a parcouru 10,5 km en 1 h 03 min, c’est-à-dire 63 min, soit \(\dfrac{63}{60} = 1{,}05\) h.
\[v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{10{,}5}{1{,}05} = 10\ \text{km/h}\]
Autre raisonnement : avec une allure de 6 min/km, il parcourt 1 km en 6 min, donc 10 km en 60 min.
La vitesse moyenne de Bob est de 10 km/h.
2. a. Une fonction linéaire s’écrit \(x \mapsto ax\) : les images sont proportionnelles aux nombres de départ. Ici, \(f(1) = 60\) et \(f(2) = 30\) : quand \(x\) double, l’image est divisée par 2 au lieu de doubler. \(f(x) = \dfrac{60}{x}\) ne peut donc pas s’écrire \(ax\).
La fonction \(f\) n’est pas linéaire. (Sa courbe n’est d’ailleurs pas une droite passant par l’origine.)
b. \(f(5) = \dfrac{60}{5} = 12\).
L’image de 5 est 12 : lors de sa dernière course, courue à l’allure de 5 min/km, Bob allait à 12 km/h en moyenne.
3. Les lectures graphiques sont tracées ci-dessous.
a. On part de 10 sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la courbe, puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit 6. Par le calcul, \(f(6) = \dfrac{60}{6} = 10\).
6 est un antécédent de 10 par \(f\).
b. Ensuite, on part cette fois de 14 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe et on lit l’ordonnée : un peu plus de 4. Le calcul le confirme : \(f(14) = \dfrac{60}{14} \approx 4{,}3\).
Le piéton marche à environ 4,3 km/h.
Corrigé de l’exercice 4 (septembre 2018) : abeilles, alvéoles et production de miel
1. L’abeille transporte \(\dfrac{80}{100} = 0{,}8\) fois sa propre masse. Si l’homme faisait de même :
\[75 \times 0{,}8 = 60\ \text{kg}\]
L’homme transporterait 60 kg.
2. a. Pour multiplier une aire en mm² par une hauteur, il faut une hauteur en mm : 1,15 cm = 11,5 mm.
\[V = \text{Aire}_{\text{Base}} \times \text{Hauteur} = 23 \times 11{,}5 = 264{,}5\ \text{mm}^3\]
Le volume d’une alvéole est bien de 264,5 mm³.
b. Puis on convertit le volume du jabot en mm³. Un litre vaut 1 dm³, et 1 dm = 100 mm, donc \(1\ \text{dm}^3 = 100^3\ \text{mm}^3 = 10^6\ \text{mm}^3\).
\[6 \times 10^{-5}\ \text{L} = 6 \times 10^{-5} \times 10^{6}\ \text{mm}^3 = 6 \times 10\ \text{mm}^3 = 60\ \text{mm}^3\]
Nombre de jabots pleins nécessaires : \(\dfrac{264{,}5}{60} \approx 4{,}41\). Quatre sorties ne rapportent que 240 mm³, ce qui ne suffit pas ; il en faut une de plus.
L’abeille doit faire au minimum 5 sorties pour remplir une alvéole.
3. a. Ensuite, on additionne les quatre barres grises (2016) :
\[3\,965 + 1\,869 + 4\,556 + 5\,709 = 16\,099\]
En 2016, 16 099 tonnes de miel ont été récoltées.
b. La baisse est de \(24\,224 – 16\,099 = 8\,125\) tonnes. Puis on la rapporte à la valeur de départ, celle de 2015 :
\[\dfrac{8\,125}{24\,224} \times 100 \approx 33{,}5\]
La récolte de miel a baissé d’environ 33,5 % entre 2015 et 2016.
Corrigé de l’exercice 5 : rectangle et homothétie en Scratch
1. Un rectangle se trace en répétant deux fois le même enchaînement « une longueur, un quart de tour, une largeur, un quart de tour ». Les dimensions doivent être données par les variables, pour que le bloc s’adapte à leurs valeurs.
Boucle complétée : répéter 2 fois : avancer de Longueur ; tourner à gauche de 90 degrés ; avancer de Largeur ; tourner à gauche de 90 degrés.
Avec Longueur = 50 et Largeur = 30, le lutin part vers la droite, trace 50 pas, tourne vers le haut, trace 30 pas, tourne vers la gauche, et ainsi de suite.
2. Le lutin a tourné 4 fois de 90°, soit un tour complet de 360°, et a parcouru deux fois la longueur et deux fois la largeur dans des sens opposés : il revient à son point de départ, avec son orientation initiale.
Le point d’arrivée a pour coordonnées (0 ; 0) et le lutin est orienté à 90°, c’est-à-dire vers la droite.
3. a. Une homothétie de rapport 1,3 multiplie toutes les longueurs par 1,3. Comme le lutin est revenu en (0 ; 0), centre de l’homothétie, orienté vers la droite, il suffit de multiplier les deux dimensions par 1,3 puis de rappeler le bloc rectangle.
Ligne 9 : mettre Longueur à Longueur x 1,3. Ligne 10 : mettre Largeur à Largeur x 1,3. De même, ligne 11 : rectangle.
b. \(50 \times 1{,}3 = 65\) et \(30 \times 1{,}3 = 39\).
À la fin du script, Longueur vaut 65 et Largeur vaut 39.
Corrigé de l’exercice 6 : programme de calcul à deux branches
1. Avec 1 comme nombre de départ :
Branche de gauche : le double de 1 est 2, puis \(2 – 5 = -3\).
Branche de droite : le triple de 1 est 3, puis \(3 + 2 = 5\).
Produit : \(-3 \times 5 = -15\).
Alors on obtient bien \(-15\).
2. Avec \(x\) comme nombre de départ, la branche de gauche donne \(2x – 5\) et la branche de droite \(3x + 2\). Le programme multiplie ces deux résultats, qu’il faut donc mettre entre parenthèses : \((2x – 5)(3x + 2)\).
L’expression \(A\) commence par \(x^2\) (le carré, pas le double) et l’expression \(C\), sans parenthèses, calcule d’abord \(5 \times 3x\) à cause des priorités. On peut aussi tester avec \(x = 1\) : \(A = -4 \times 5 = -20\), \(B = -3 \times 5 = -15\) et \(C = 2 – 15 + 2 = -11\) ; seule \(B\) donne \(-15\).
C’est l’expression \(B = (2x – 5) \times (3x + 2)\).
3. Dans \(D\), le facteur \((3x + 2)\) apparaît dans les deux termes : on le met en facteur.
\[D = (3x + 2)(3x + 2) – (x + 7)(3x + 2) = (3x + 2)\left[(3x + 2) – (x + 7)\right]\]
\[D = (3x + 2)(3x + 2 – x – 7) = (3x + 2)(2x – 5)\]
Ensuite, on retrouve le produit \(B\), les facteurs étant simplement écrits dans l’autre ordre. En développant les deux expressions, on obtient d’ailleurs \(6x^2 – 11x – 10\) dans les deux cas.
L’affirmation de Lily est vraie : \(D = B\) pour toutes les valeurs de \(x\).
Corrigé de l’exercice 7 : la vitesse ascensionnelle
1. Le triangle DEF est rectangle en E, d’hypoténuse [DF] = 3 800 m, avec DE = 3 790 m. Le dénivelé de la première étape est EF. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{DF}^2 = \text{DE}^2 + \text{EF}^2 \quad \text{donc} \quad \text{EF}^2 = 3\,800^2 – 3\,790^2 = 14\,440\,000 – 14\,364\,100 = 75\,900\]
\[\text{EF} = \sqrt{75\,900} \approx 275{,}499\]
Le dénivelé de la première étape est bien d’environ 275,5 m.
2. Le triangle FGH est rectangle en G. Puis on connaît l’hypoténuse FH = 4,1 km = 4 100 m et l’angle \(\widehat{\text{GFH}} = 12^\circ\) ; on cherche GH, côté opposé à cet angle. Ensuite, on utilise le sinus :
\[\sin\left(\widehat{\text{GFH}}\right) = \dfrac{\text{GH}}{\text{FH}} \quad \text{donc} \quad \text{GH} = 4\,100 \times \sin(12^\circ) \approx 852{,}4\]
Le dénivelé de la seconde étape est d’environ 852,4 m.
3. Le dénivelé total est la somme des deux dénivelés : \(275{,}5 + 852{,}4 = 1\,127{,}9\) m.
La durée doit être exprimée en heures : 48 min = \(\dfrac{48}{60}\) h = 0,8 h.
\[V_a = \dfrac{1\,127{,}9}{0{,}8} \approx 1\,409{,}9\ \text{m/h}\]
Comme \(1\,409{,}9 \gt 1\,400\), l’objectif est dépassé.
Oui, le coureur atteint son objectif avec une vitesse ascensionnelle d’environ 1 410 m/h.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé septembre 2018
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Pour les probabilités, compte les issues favorables et le nombre total d’issues, puis vérifie que ta probabilité reste comprise entre 0 et 1. En ce qui concerne la médiane et les statistiques, compte l’effectif total avant tout, car c’est lui qui donne le rang de la médiane. Quant au tableur, teste la formule sur une seule cellule, ensuite recopie-la vers le bas. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de probabilité, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé septembre 2018, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé septembre 2018
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2018 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2018. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les probabilités, la médiane et les statistiques, le tableur et les aires. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé septembre 2018
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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