Corrigé du brevet de maths 2020 : Amérique du Nord, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2020 : Amérique du Nord, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Nord 2020

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nord 2020 est découpé en 5 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Triangle, Pythagore et Thalès » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « QCM justifié » (exercice 2). Puis la correction reprend « Pavage et diviseurs » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Natation, statistiques et tableur » (exercice 4). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Urnes, probabilités et Scratch » (exercice 5).

Ainsi, le corrigé corrigé Nord 2020 te fait revoir le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie, les fractions et le calcul littéral, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2020) : triangle, Pythagore, Thalès et cosinus

1. Voici une construction possible, qui n’utilise que les longueurs données :

• trace le segment [BC] de 9,6 cm ;
• trace un arc de cercle de centre B et de rayon 4 cm, puis un arc de cercle de centre C et de rayon 10,4 cm : leur point d’intersection est A ; trace [AB] et [AC] ;
• place K sur [CB] à 3 cm de C ;
• trace la parallèle à (AB) passant par K (avec l’équerre et la règle, en faisant glisser l’équerre le long de la règle) : elle coupe [AC] en L.

Tu constates que l’angle en B semble droit : c’est ce que démontre la question suivante.

2. Le plus long côté est [AC]. Ensuite, on compare son carré à la somme des carrés des deux autres côtés : \[\text{AC}^2=10{,}4^2=108{,}16\] \[\text{AB}^2+\text{BC}^2=4^2+9{,}6^2=16+92{,}16=108{,}16\] On a \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. Les points C, K, B et C, L, A sont alignés et les droites (KL) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : \[\dfrac{\text{CL}}{\text{CA}}=\dfrac{\text{CK}}{\text{CB}}\quad\text{soit}\quad\dfrac{\text{CL}}{10{,}4}=\dfrac{3}{9{,}6}\] \[\text{CL}=\dfrac{10{,}4\times 3}{9{,}6}=\dfrac{31{,}2}{9{,}6}=3{,}25\] On obtient CL = 3,25 cm.

4. Dans le triangle ABC rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{CAB}\), le côté adjacent est [AB] et l’hypoténuse est [AC]. Ensuite, on utilise le cosinus : \[\cos\widehat{CAB}=\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}=\dfrac{4}{10{,}4}\approx 0{,}385\] La calculatrice donne \(\arccos(4\div 10{,}4)\approx 67{,}4\), donc \(\widehat{CAB}\approx 67^\circ\) au degré près.

Corrigé de l’exercice 2 : QCM justifié

1. Le volume d’un cube d’arête \(a\) est \(a^3\). Si l’arête devient \(3a\), le volume devient \((3a)^3=27a^3\) : il est multiplié par \(3^3=27\). Réponse D (27).

2. Puis on remplace \(x\) par \(-4\) : \[(-4)^2+3\times(-4)+4=16-12+4=8\] Réponse A (8).

3. Alors on met les deux fractions au même dénominateur 12 : \[\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}\] Réponse C (\(\dfrac{7}{12}\)). Par ailleurs, la réponse 0,583 n’est qu’une valeur approchée de \(\dfrac{7}{12}=0{,}58333\ldots\), elle n’est pas égale à la somme.

4. Une notation scientifique s’écrit \(a\times 10^n\) avec \(1\leqslant a\lt 10\). Ici on déplace la virgule de 9 rangs vers la gauche : \(1\,500\,000\,000=1{,}5\times 10^9\) (un milliard et demi). Réponse D (\(1{,}5\times 10^{9}\)). Puis les propositions avec 15 ne conviennent pas car 15 n’est pas compris entre 1 et 10.

5. Ensuite, on développe avec l’identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) : \[(x-2)(x+2)=x^2-2^2=x^2-4\] Réponse A (\(x^2-4\)).

Corrigé de l’exercice 3 : pavage et diviseurs communs

1. a. La symétrie centrale de centre O envoie chaque point à l’opposé par rapport à O : le coin en haut à gauche va au coin en bas à droite. Ensuite, l’image du polygone ① est le polygone ③.

1. b. Pour passer de ① (en haut à gauche) à ② (en haut à droite), on tourne d’un quart de tour autour de O dans le sens des aiguilles d’une montre. Avec ce même quart de tour, le polygone ④ (en bas à gauche) vient en haut à gauche : son image est le polygone ①.

2. Le polygone ⑤ occupe dans le carré voisin exactement la même position que ① dans ABCD : on le déplace d’un carré vers la droite, sans le tourner. C’est la translation qui transforme A en B (translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\)).

3. a. Pour recouvrir le tissu sans découpe, il faut placer un nombre entier de carrés dans la longueur et dans la largeur : le côté du carré doit diviser à la fois 315 et 270. Or \(315=9\times 35\) et \(270=9\times 30\). Puis le nombre 9 est un diviseur commun de 315 et de 270, donc des carrés de 9 cm de côté conviennent.

3. b. Puis on place 35 carrés dans la longueur et 30 dans la largeur, soit \(35\times 30=1\,050\). De plus, on imprimera 1 050 carrés. Contrôle par les aires : \(\dfrac{315\times 270}{9\times 9}=\dfrac{85\,050}{81}=1\,050\).

Corrigé de l’exercice 4 : natation, statistiques et tableur

1. Le classement se fait du temps le plus court au plus long. Ensuite, on range la série dans l’ordre croissant : 52,93 ; 53,23 ; 53,35 ; 53,61 ; 54,04 ; 54,07 ; 54,52 ; 54,56. Ensuite, la troisième, Charlotte Bonnet, a nagé en 53,35 s.

2. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \[v=\dfrac{100}{52{,}93}\approx 1{,}889\] Au dixième près, la vitesse moyenne est d’environ 1,9 m/s.

3. De même, la somme des huit temps vaut 430,31 s, donc la moyenne vaut \(\dfrac{430{,}31}{8}\approx 53{,}79\) s.

La série compte 8 valeurs (nombre pair) : la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs de la série rangée, \(\dfrac{53{,}61+54{,}04}{2}=53{,}825\) s.

La moyenne (environ 53,79 s) est légèrement inférieure à la médiane (53,825 s) ; les deux valeurs sont très proches, elles diffèrent de moins de quatre centièmes de seconde.

4. De même, la Grande-Bretagne et l’Italie ont obtenu \(13+8=21\) médailles d’or, alors que la Russie en a obtenu 23. C’est faux : il leur manque 2 médailles d’or.

5. La France a remporté 4 médailles d’or sur 12 médailles au total : \[\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\] soit environ 33,3 %. Comme 33,3 % est moins que 35 %, c’est faux.

6. La cellule F2 contient le total des médailles de la Russie, c’est-à-dire la somme des cellules C2, D2 et E2. Puis on a pu saisir =SOMME(C2:E2) (ou =C2+D2+E2). Par ailleurs, en étirant vers le bas, le numéro de ligne s’adapte automatiquement.

Corrigé de l’exercice 5 : deux urnes, probabilités et simulation

Chaque tirage bleu (3 possibilités) peut être associé à chaque tirage rouge (4 possibilités) : il y a \(3\times 4=12\) tirages, tous équiprobables. Puis le tableau suivant les liste tous, avec la boule bleue en ligne et la boule rouge en colonne :

1. a. Parmi les numéros 2, 3, 4 et 5, les nombres premiers sont 2, 3 et 5. Ensuite, le tirage (2 ; 3) par exemple donne deux nombres premiers : l’évènement « on obtient deux nombres premiers » est possible.

La plus grande somme possible est obtenue avec la boule bleue 4 et la boule rouge 5 : \(4+5=9\). On ne peut donc jamais atteindre 12 : l’évènement « la somme est égale à 12 » est impossible.

1. b. La boule bleue doit être 2 ou 3 (2 possibilités) et la boule rouge 2, 3 ou 5 (3 possibilités) : \(2\times 3=6\) tirages conviennent, à savoir (2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2), (3 ; 3) et (3 ; 5). De même, la probabilité vaut \(\dfrac{6}{12}\), soit \(\dfrac{1}{2}\).

2. Les doubles possibles sont (2 ; 2), (3 ; 3) et (4 ; 4) ; le double (5 ; 5) est impossible car il n’y a pas de boule bleue numérotée 5. Il y a donc 3 tirages favorables sur 12, et la probabilité d’obtenir un double vaut \(\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\).

Corrigé de l’exercice 5 : deux urnes, probabilités et simulation (suite)

3. a. Alors on simule 1 000 expériences, et les numéros vont de 2 à 4 pour la boule bleue, de 2 à 5 pour la boule rouge : A = 1 000, B = 4 et C = 5.

3. b. Il faut tirer deux nouvelles boules à chaque expérience, avant de tester si elles portent le même numéro : le bloc « Tirer deux boules » se place dans la boucle « répéter 1 000 fois », juste avant le bloc « si … alors ».

3. c. Le compteur doit partir de zéro une seule fois, au début du programme : le bloc « mettre Nombre de doubles à 0 » se place juste après « quand le drapeau vert est cliqué », avant la boucle « répéter ». S’il était dans la boucle, le compteur serait remis à zéro à chaque tirage.

3. d. La fréquence est le nombre de doubles divisé par le nombre total d’expériences, ici 1 000. Il faut placer la proposition ② : dire Nombre de doubles / 1000. Le résultat affiché devrait être proche de 0,25, la probabilité calculée à la question 2.

Le script principal complet est donc : quand le drapeau vert est cliqué ; mettre Nombre de doubles à 0 ; répéter 1000 fois [ Tirer deux boules ; si Boule bleue = Boule rouge alors ajouter 1 à Nombre de doubles ] ; dire Nombre de doubles / 1000.

Corrigé de l’exercice 5 : deux urnes, probabilités et simulation (suite)

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Bien réviser avec le corrigé corrigé Nord 2020

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Quant au théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Dans les questions sur le théorème de Thalès, cite d’abord les deux droites parallèles et les points alignés, ensuite seulement l’égalité des trois rapports. Pour la trigonométrie, repère d’abord le côté adjacent et le côté opposé à l’angle, car une erreur à cette étape fausse tout le calcul. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de théorème de Pythagore, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Nord 2020, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Nord 2020

Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2020 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2020. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie et les fractions. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nord 2020

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2020 : Amérique du Nord, septembre» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

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