Corrigé du brevet de maths 2023 : Centres étrangers

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2023 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé étrangers 2023

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers 2023 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 5 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « QCM : Scratch et calculs » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Cabane, toboggan et bac à sable » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Programmes de calcul et tableur » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Urne et constitution de lots » (exercice 4). Enfin, le corrigé explique « Location de bateaux électriques » (exercice 5).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers 2023 sont le programme Scratch, les fractions, la médiane et les statistiques, la trigonométrie et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.

Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2023) : QCM, Scratch et calculs

Partie A

1. Le stylo part vers la droite et longe la base du triangle. Arrivé au sommet de droite, il doit repartir le long du côté suivant. Dans un triangle équilatéral chaque angle intérieur mesure 60°, donc le lutin ne tourne pas de 60° : il tourne de l’angle extérieur, qui vaut \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Autre façon de le voir : après trois virages identiques, le lutin a fait un tour complet et regarde de nouveau vers la droite, donc chaque virage vaut \(360^\circ\div3=120^\circ\). Réponse C : 120°.

2. Le lutin part de l’origine, orienté vers la droite, et trace un premier triangle au-dessus de la base horizontale (il tourne vers la gauche). À la fin du bloc il a fait un tour complet : il est revenu à l’origine et regarde de nouveau vers la droite. Il tourne alors de 60° vers la gauche et trace le second triangle à partir du même point, dans une direction inclinée de 60°. Le premier côté du second triangle est donc exactement le côté oblique gauche du premier triangle, et le second triangle se colle à gauche de ce côté, pointe vers le bas. Ensuite, on obtient deux triangles accolés par un côté commun, qui forment un losange : réponse C.

3. Avec « répéter 6 fois », on trace six triangles équilatéraux qui partent tous du même point, chacun tourné de 60° par rapport au précédent. Comme \(6\times60^\circ=360^\circ\), ils font le tour complet du point et se collent deux à deux par un côté. Leur réunion est un hexagone régulier : réponse B.

Partie B

1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{7}{5}=\dfrac{7}{15}\). Dans la parenthèse : \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{15}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{7}{15}=\dfrac{3}{15}\). Diviser par \(\dfrac{4}{3}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{3}{4}\). Le calcul vaut donc \(\dfrac{3}{15}\times\dfrac{3}{4}\) : réponse C. (Il vaut \(\dfrac{3}{20}\).)

2. On écrit \(302{,}4=3{,}024\times10^2\), donc \(302{,}4\times10^{18}=3{,}024\times10^{2}\times10^{18}=3{,}024\times10^{20}\). La réponse C a la bonne valeur mais n’est pas une écriture scientifique, car \(0{,}3024\) n’est pas compris entre 1 et 10. Réponse B.

3. Puis on range les 8 masses dans l’ordre croissant : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18. L’effectif est pair, la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs : \(\dfrac{12+12}{2}=12\) g. Après correction, la liste rangée devient 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16 : la valeur modifiée reste la plus grande, les 4e et 5e valeurs ne changent pas, la médiane vaut toujours 12 g. Réponse B : la même.

Corrigé de l’exercice 2 : la cabane, son toboggan, son échelle et son bac à sable

Partie A : Étude du toboggan

1. Dans le triangle FDE rectangle en D, on connaît le côté opposé à l’angle \(\widehat{DEF}\), DF = 1,2 m, et le côté adjacent, DE = 2,04 m. On utilise donc la tangente :

\[\tan\widehat{DEF}=\dfrac{DF}{DE}=\dfrac{1{,}2}{2{,}04}\approx0{,}588\]

La calculatrice (touche \(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\)) donne \(\widehat{DEF}\approx30{,}47^\circ\), soit 30° au degré près. Le toboggan est sécurisé.

2. Le triangle FDE est rectangle en D et son hypoténuse est [EF]. D’après le théorème de Pythagore :

\[EF^2=DE^2+DF^2=2{,}04^2+1{,}2^2=4{,}1616+1{,}44=5{,}6016\]

Donc \(EF=\sqrt{5{,}6016}\approx2{,}3668\). La rampe mesure environ 2,37 m au centième près.

Partie B : Étude de l’échelle

1. Le triangle ABC est rectangle en C, donc (AC) est perpendiculaire à (BC). Le triangle BMN est rectangle en N, donc (MN) est perpendiculaire à (BN), c’est-à-dire à (BC). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Les droites (AC) et (MN) sont donc parallèles.

2. Les points B, N, C sont alignés, ainsi que B, M, A, et les droites (MN) et (AC) sont parallèles. Le théorème de Thalès dans les triangles BMN et BAC donne :

\[\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{MN}{AC}\]

Alors on utilise l’égalité qui contient les longueurs connues : \(\dfrac{0{,}84}{1{,}2}=\dfrac{MN}{0{,}5}\). Le coefficient de réduction vaut \(\dfrac{0{,}84}{1{,}2}=0{,}7\), donc \(MN=0{,}7\times0{,}5=0{,}35\). La poutre [MN] mesure 0,35 m, soit 35 cm.

Partie C : Étude du bac à sable

1. Le volume d’un pavé droit est longueur × largeur × hauteur :

\[V=200\times180\times20=720\,000\ \text{cm}^3\]

Le bac a un volume de 720 000 cm³. (Comme \(1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3\), cela fait bien 0,72 m³.)

2. Un ratio 3 : 2 signifie que, sur \(3+2=5\) parts égales, 3 parts sont du sable à maçonner et 2 parts du sable fin. Une part vaut \(0{,}72\div5=0{,}144\ \text{m}^3\).

Sable à maçonner : \(3\times0{,}144=0{,}432\ \text{m}^3\). Sable fin : \(2\times0{,}144=0{,}288\ \text{m}^3\). On vérifie que \(0{,}432+0{,}288=0{,}72\). Ensuite, on retrouve bien 0,432 m³ et 0,288 m³.

3. Nombre de sacs de sable à maçonner : \(0{,}432\div0{,}022\approx19{,}6\). Dix-neuf sacs ne suffisent pas, il faut acheter le sac entier suivant : 20 sacs.

Nombre de sacs de sable fin : \(0{,}288\div0{,}016=18\) exactement : 18 sacs.

Coût total : \(20\times2{,}95+18\times5{,}95=59+107{,}10=166{,}10\). Le sable coûte 166,10 €. (Le poids des sacs ne sert pas dans ce calcul.)

Corrigé de l’exercice 3 : deux programmes de calcul

1. Programme d’Amir avec 6 : \(6-5=1\), puis \(2\times1=2\). On obtient 2.

Programme de Sonia avec 6 : \(6+3=9\), puis \(9\times6=54\), puis \(54-16=38\). On obtient 38.

2. a. Il faut soustraire 5 au nombre choisi (cellule B1) puis doubler, avec des parenthèses pour que la soustraction soit faite en premier. La formule =B1 −5 * 2 calcule \(B1-10\) à cause des priorités, et =(−2 − 5) * 2 ne change pas quand on l’étire. La bonne formule est =(B1 −5) * 2.

b. Puis on cherche une colonne où les lignes 2 et 3 affichent la même valeur : c’est la colonne F, où les deux programmes donnent −6. Ils doivent choisir 2.

3. a. Avec le programme de Sonia, on part de \(x\), on ajoute 3 : \(x+3\) ; on multiplie par le nombre choisi : \((x+3)\times x\) ; on soustrait 16 : \((x+3)x-16\). En développant :

\[(x+3)x-16=x^2+3x-16\]

Le résultat est bien \(x^2+3x-16\).

b. Pour information, l’équation vient de là : Amir obtient \(2(x-5)=2x-10\), et \(x^2+3x-16=2x-10\) équivaut à \(x^2+x-6=0\), qui s’écrit \((x-2)(x+3)=0\) (en développant, \(x^2+3x-2x-6=x^2+x-6\)).

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x-2=0\) ou \(x+3=0\), soit \(x=2\) ou \(x=-3\).

Vérification avec \(-3\) : Amir obtient \(2\times(-3-5)=-16\) et Sonia \((-3+3)\times(-3)-16=-16\). Les deux programmes donnent le même résultat pour 2 et pour −3 ; le tableur ne montrait que 2 car −3 n’y figurait pas.

Corrigé de l’exercice 4 : urne, probabilités et lots

Partie A : étude du jeu

1. a. L’urne contient \(3+4=7\) boules indiscernables au toucher, donc chaque boule a la même chance d’être tirée. 4 boules sont rouges : \(P(\text{rouge})=\dfrac{4}{7}\). La probabilité est \(\dfrac{4}{7}\).

b. Les boules à numéro pair sont la noire n° 2, la rouge n° 2 et la rouge n° 4, soit 3 boules sur 7. La probabilité est \(\dfrac{3}{7}\).

2. Comme la première boule est remise, chacun des deux tirages se fait parmi 7 boules : il y a \(7\times7=49\) couples possibles, tous équiprobables. Ensuite, on peut les ranger dans un tableau à double entrée (premier tirage en ligne, second en colonne).

Puis on gagne avec la rouge n° 1 et une noire, dans n’importe quel ordre :

• rouge n° 1 au premier tirage puis une noire au second : 3 couples (R1-N1, R1-N2, R1-N3) ;
• une noire au premier tirage puis la rouge n° 1 au second : 3 couples (N1-R1, N2-R1, N3-R1).

Cela fait 6 couples gagnants sur 49. La probabilité de gagner est \(\dfrac{6}{49}\).

Partie B : constitution des lots

1. Il faut que 195 et 234 soient tous les deux divisibles par 3. La somme des chiffres de 195 vaut 15 et celle de 234 vaut 9 : ce sont des multiples de 3, donc 195 et 234 sont divisibles par 3. En effet \(195\div3=65\) et \(234\div3=78\). Oui, on peut faire 3 lots de 65 figurines et 78 autocollants.

2. 195 se termine par 5, donc \(195=5\times39\), puis \(39=3\times13\). Les nombres 3, 5 et 13 sont premiers, donc \(195=3\times5\times13\).

3. a. Le nombre de lots doit diviser à la fois 195 et 234. Le plus grand diviseur commun s’obtient en gardant les facteurs premiers communs aux deux décompositions, \(195=3\times5\times13\) et \(234=2\times3^2\times13\) : ce sont 3 et 13. De même, le PGCD vaut \(3\times13=39\). Alors on peut constituer au maximum 39 lots.

b. \(195\div39=5\) et \(234\div39=6\). Chaque lot contient 5 figurines et 6 autocollants.

Corrigé de l’exercice 5 : location de bateaux, deux tarifs

1. Étude du tarif proposé par la société A

a. Sur le graphique, le point de la droite d’abscisse 2 a pour ordonnée 60. Ensuite, on paie 60 € pour 2 heures.

b. Puis on lit que 3 heures coûtent 90 € et 4 heures 120 €. Avec 100 €, on ne peut pas payer 4 heures. Ensuite, on peut louer le bateau 3 heures.

c. La représentation graphique du tarif A est une droite qui passe par l’origine du repère. C’est la représentation d’une fonction linéaire, donc le prix est proportionnel à la durée.

d. Le coefficient de proportionnalité est \(60\div2=30\) : une heure coûte 30 €. Pour 10 heures : \(30\times10=300\). Puis on paie 300 € pour 10 heures.

2. Étude du tarif proposé par la société B

a. Pour 2 heures : \(60+15\times2=60+30=90\). Alors on paie bien 90 €.

b. \(f\) est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite. Il suffit de deux points :

• \(f(0)=60\) : la droite passe par le point (0 ; 60) ;
• \(f(2)=90\) (question a) : elle passe par le point (2 ; 90) ;
• point de contrôle : \(f(8)=15\times8+60=180\), soit (8 ; 180).

Ensuite, on trace la droite qui passe par ces points (en rouge ci-dessous).

c. La droite qui représente \(f\) ne passe pas par l’origine (\(f(0)=60\neq0\)). Autre argument : 2 heures coûtent 90 € mais 4 heures coûtent \(15\times4+60=120\) €, et non le double 180 €. Le prix n’est pas proportionnel à la durée.

3. Comparaison des deux tarifs

a. Pour 3 heures, la société A demande \(30\times3=90\) € et la société B \(15\times3+60=105\) €. Il faut choisir la société A et on paie 90 €.

b. Puis on cherche la durée \(x\) telle que \(30x=15x+60\). En retirant \(15x\) des deux côtés : \(15x=60\), donc \(x=60\div15=4\). Vérification : \(30\times4=120\) et \(15\times4+60=120\). Sur le graphique, c’est l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Pour 4 heures de location, le prix est le même : 120 €.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2023 : Centres étrangers.

Bien réviser avec le corrigé corrigé étrangers 2023

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

En ce qui concerne le programme Scratch, suis les blocs dans l’ordre et note à chaque tour de boucle ce que fait le lutin, car c’est là que se cachent les pièges. Quant aux fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Dans les questions sur la médiane et les statistiques, range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant, puis repère la position du milieu de la série. Au besoin, la définition de la notion de langage Scratch sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé étrangers 2023 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers 2023

Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2023 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2023. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur le programme Scratch, les fractions, la médiane et les statistiques et la trigonométrie. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers 2023

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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