Corrigé du bac de maths 2021 : Centres étrangers, jour 1

Avant de lire ces solutions, traitez le sujet vous-même à partir de l'énoncé officiel. Retrouvez aussi tous les sujets et corrigés du bac de maths.

Corrigé de l’exercice 1 (bac 2021, Centres étrangers, jour 1) 5 points

QCM : dérivée seconde, combinaisons, lecture du signe d'une dérivée, probabilité d'une réunion, tableau de variation

1. Dérivée seconde de \(f(x) = x\text{e}^{-2x}\).

Ensuite, on dérive deux fois avec la formule du produit \((uv)' = u'v + uv'\), en se rappelant que la dérivée de \(\text{e}^{-2x}\) est \(-2\text{e}^{-2x}\).

Première dérivée : \(f'(x) = 1 \times \text{e}^{-2x} + x \times (-2\text{e}^{-2x}) = (1 - 2x)\text{e}^{-2x}\). Attention, c'est la proposition a, mais elle correspond à \(f'\) et non à \(f''\).

Seconde dérivée : on dérive à nouveau un produit, avec \(u(x) = 1 - 2x\) et \(v(x) = \text{e}^{-2x}\) : \(f''(x) = -2\text{e}^{-2x} + (1-2x)(-2)\text{e}^{-2x} = (-2 - 2 + 4x)\text{e}^{-2x} = (4x - 4)\text{e}^{-2x}\).

Réponse b : \(f''(x) = 4(x-1)\text{e}^{-2x}\).

2. Nombre de choix de trois spécialités parmi douze.

L'ordre dans lequel l'élève cite ses spécialités n'a aucune importance et il ne peut pas prendre deux fois la même : on compte des parties à 3 éléments d'un ensemble à 12 éléments, c'est-à-dire des combinaisons.

\[\binom{12}{3} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1\,320}{6} = 220.\]

Le nombre 1 320 correspond aux listes ordonnées sans répétition (arrangements) et 1 728 \(= 12^3\) aux listes avec répétition : ce sont deux pièges classiques.

Réponse c : 220 combinaisons.

3. Tableau de variation de \(f\) à partir de la courbe de \(f'\).

Le sens de variation de \(f\) se lit sur le signe de \(f'\), donc sur la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses (et non sur le fait que la courbe monte ou descende).

La courbe de \(f'\) est sous l'axe entre 0 et 2, au-dessus entre 2 et 5, puis de nouveau en dessous entre 5 et 7. Donc \(f'(x) \leqslant 0\) sur \([0\,;\,2]\), \(f'(x) \geqslant 0\) sur \([2\,;\,5]\) et \(f'(x) \leqslant 0\) sur \([5\,;\,7]\) : \(f\) décroît, puis croît, puis décroît.

Le tableau a (avec 3,25) décrit en réalité les variations de \(f'\) elle-même, qui admet un maximum vers 3,25 : c'est le piège de la question.

Réponse b : \(f\) décroissante sur \([0\,;\,2]\), croissante sur \([2\,;\,5]\), décroissante sur \([5\,;\,7]\).

Question 4

4. Probabilité qu'une puce ait les deux défauts.

Notons \(A\) « la puce a le défaut A » et \(B\) « la puce a le défaut B ». Par ailleurs, on connaît \(P(A) = 0{,}028\) et \(P(B) = 0{,}022\).

« N'avoir aucun des deux défauts » est l'événement contraire de \(A \cup B\) (avoir au moins un défaut). Donc \(P(A \cup B) = 1 - 0{,}954 = 0{,}046\).

La formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) donne alors \(P(A \cap B) = 0{,}028 + 0{,}022 - 0{,}046 = 0{,}004\).

Réponse b : \(P(A \cap B) = 0{,}004\).

5. Signe de \(f'\) d'après le tableau de variation de \(f\).

Pour une fonction dérivable, si \(f\) est croissante sur un intervalle, sa dérivée y est positive (ou nulle) ; si elle est décroissante, sa dérivée y est négative (ou nulle).

Le tableau montre que \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et décroissante sur \([-1\,;\,+\infty[\). Donc \(f'\) est positive sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et négative sur \([-1\,;\,+\infty[\), ce qui élimine a, c et d.

Réponse b : \(f'\) est positive sur \(]-\infty\,;\,-1]\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance

Partie A

1. Compléter l'arbre pondéré.

L'énoncé donne \(P(R) = 0{,}17\) et, parmi les usagers réguliers, 32 % de jeunes : c'est une probabilité conditionnelle, \(P_R(J) = 0{,}32\). Les autres branches s'obtiennent par complément à 1, car les probabilités issues d'un même nœud ont pour somme 1. En revanche, \(P_{\overline{R}}(J)\) n'est pas connue à ce stade : elle fera l'objet de la question 4.

• \(R\) avec probabilité \(0{,}17\)
  • puis \(J\) avec probabilité \(0{,}32\)
  • puis \(\overline{J}\) avec probabilité \(1 - 0{,}32 = 0{,}68\)
• \(\overline{R}\) avec probabilité \(1 - 0{,}17 = 0{,}83\)
  • puis \(J\) avec probabilité \(P_{\overline{R}}(J)\), inconnue pour l'instant
  • puis \(\overline{J}\) avec probabilité \(1 - P_{\overline{R}}(J)\)

Arbre : \(P(R) = 0{,}17\), \(P(\overline{R}) = 0{,}83\), \(P_R(J) = 0{,}32\), \(P_R(\overline{J}) = 0{,}68\).

2. Calculer \(P(R \cap J)\).

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités des branches qui le composent :

\[P(R \cap J) = P(R) \times P_R(J) = 0{,}17 \times 0{,}32 = 0{,}0544.\]

\(P(R \cap J) = 0{,}0544\), soit environ 0,054 à \(10^{-3}\) près.

3. Montrer que \(P(\overline{R} \cap J) \approx 0{,}056\).

Donc on sait maintenant que \(P(J) = 0{,}11\). Les événements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l'univers, donc la formule des probabilités totales s'écrit \(P(J) = P(R \cap J) + P(\overline{R} \cap J)\).

Ainsi, on en tire \(P(\overline{R} \cap J) = P(J) - P(R \cap J) = 0{,}11 - 0{,}0544 = 0{,}0556\).

\(P(\overline{R} \cap J) = 0{,}0556 \approx 0{,}056\) à \(10^{-3}\) près.

4. Proportion de jeunes parmi les usagers non réguliers.

Alors, on cherche la probabilité d'être jeune sachant que la personne n'est pas un usager régulier, c'est-à-dire \(P_{\overline{R}}(J)\). Par définition d'une probabilité conditionnelle, en gardant la valeur exacte 0,0556 :

\[P_{\overline{R}}(J) = \dfrac{P(\overline{R} \cap J)}{P(\overline{R})} = \dfrac{0{,}0556}{0{,}83} \approx 0{,}067.\]

Environ 6,7 % des usagers non réguliers ont entre 18 et 24 ans (\(P_{\overline{R}}(J) \approx 0{,}067\)).

Partie B

1. Loi de \(X\).

Interroger une personne est une épreuve à deux issues : « succès » si elle utilise régulièrement les transports en commun, de probabilité \(p = 0{,}17\), « échec » sinon. C'est une épreuve de Bernoulli.

Par ailleurs, on répète cette épreuve 50 fois, et l'énoncé permet d'assimiler le choix des personnes à un tirage avec remise : les 50 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès.

\(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}17)\).

2. Calculer \(P(X = 5)\) et interpréter.

Pour une loi binomiale, \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\). Ici :

\[P(X = 5) = \binom{50}{5} \times 0{,}17^5 \times 0{,}83^{45} \approx 0{,}069.\]

À la calculatrice : binomFdp(50, 0.17, 5) ou l'équivalent selon le modèle.

\(P(X = 5) \approx 0{,}069\) : il y a environ 6,9 % de chances que, parmi les 50 personnes interrogées, exactement 5 soient des usagers réguliers.

3. L'affirmation du recenseur est-elle vraie ?

« Moins de 13 personnes » signifie « au plus 12 », puisque \(X\) prend des valeurs entières. Le recenseur affirme donc que \(P(X \leqslant 12) \gt 0{,}95\).

Avec la fonction de répartition de la calculatrice (binomFRép(50, 0.17, 12)), on obtient \(P(X \leqslant 12) \approx 0{,}929\).

Comme \(0{,}929 \lt 0{,}95\), la probabilité annoncée est surestimée. Remarque : il faudrait aller jusqu'à 13 personnes pour dépasser 95 %, car \(P(X \leqslant 13) \approx 0{,}964\).

L'affirmation est fausse : \(P(X \lt 13) = P(X \leqslant 12) \approx 0{,}929 \lt 0{,}95\).

Question 4

4. Nombre moyen d'usagers réguliers parmi les 50 personnes.

Le nombre moyen est l'espérance de \(X\). Pour une loi binomiale, \(E(X) = np = 50 \times 0{,}17 = 8{,}5\).

En moyenne, 8,5 personnes sur 50 utilisent régulièrement les transports en commun.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2021, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Suite arithmético-géométrique, suite géométrique auxiliaire, inéquation avec ln, raisonnement par récurrence, convergence monotone, théorème des gendarmes

Partie A

1. Calculer \(a_1\).

En juin 2020, 85 % des 200 télétravailleurs de mai continuent, soit \(0{,}85 \times 200 = 170\) personnes, auxquelles s'ajoutent 450 nouveaux télétravailleurs.

\(a_1 = 170 + 450 = 620\).

2. Justifier la relation de récurrence.

Le mois \(n\), il y a \(a_n\) télétravailleurs. Le mois suivant, seuls 85 % d'entre eux restent en télétravail : garder 85 % d'une quantité revient à la multiplier par \(0{,}85\), ce qui donne \(0{,}85a_n\). Ensuite, on ajoute ensuite les 450 collaborateurs qui rejoignent le dispositif.

Pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1} = 0{,}85a_n + 450\).

3. a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison 0,85.

Par ailleurs, on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\). Comme \(v_n = a_n - 3\,000\), on a \(a_n = v_n + 3\,000\). Alors, pour tout \(n\) :

\[v_{n+1} = a_{n+1} - 3\,000 = 0{,}85a_n + 450 - 3\,000 = 0{,}85(v_n + 3\,000) - 2\,550 = 0{,}85v_n + 2\,550 - 2\,550 = 0{,}85v_n.\]

Le premier terme vaut \(v_0 = a_0 - 3\,000 = 200 - 3\,000 = -2\,800\).

\((v_n)\) est géométrique de raison \(q = 0{,}85\) et de premier terme \(v_0 = -2\,800\).

3. b) Expression de \(v_n\).

Le terme général d'une suite géométrique est \(v_n = v_0 \times q^n\).

Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = -2\,800 \times 0{,}85^n\).

Question 3 c

3. c) Expression de \(a_n\).

Il suffit de revenir à \(a_n = v_n + 3\,000\).

Pour tout entier naturel \(n\), \(a_n = -2\,800 \times 0{,}85^n + 3\,000\).

4. À partir de quand plus de 2 500 télétravailleurs ?

Puis on résout dans \(\mathbb{N}\) l'inéquation \(a_n \gt 2\,500\) en isolant la puissance, puis en appliquant la fonction \(\ln\), qui est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et conserve donc l'ordre :

\[-2\,800 \times 0{,}85^n + 3\,000 \gt 2\,500 \iff 2\,800 \times 0{,}85^n \lt 500 \iff 0{,}85^n \lt \dfrac{5}{28} \iff n\ln(0{,}85) \lt \ln\left(\dfrac{5}{28}\right).\]

Comme \(0 \lt 0{,}85 \lt 1\), le nombre \(\ln(0{,}85)\) est négatif : en divisant par lui, on change le sens de l'inégalité.

\[n \gt \dfrac{\ln(5/28)}{\ln(0{,}85)} \approx 10{,}6.\]

Le plus petit entier qui convient est 11. Contrôle à la calculatrice : \(a_{10} \approx 2\,449\) et \(a_{11} \approx 2\,531\).

Le nombre de télétravailleurs dépasse strictement 2 500 au bout de 11 mois, c'est-à-dire en avril 2021.

Partie B

1. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

\(f\) est un quotient de fonctions affines dont le dénominateur \(x + 2\) ne s'annule pas sur \([0\,;\,+\infty[\) ; elle y est donc dérivable. Avec \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), où \(u(x) = 5x+4\) et \(v(x) = x+2\) :

\[f'(x) = \dfrac{5(x+2) - (5x+4) \times 1}{(x+2)^2} = \dfrac{5x + 10 - 5x - 4}{(x+2)^2} = \dfrac{6}{(x+2)^2}.\]

Le numérateur 6 est positif et un carré non nul est strictement positif : \(f'(x) \gt 0\) pour tout \(x \geqslant 0\).

\(f'(x) = \dfrac{6}{(x+2)^2} \gt 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

2. a) Démontrer par récurrence que \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).

Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\) ». Par ailleurs, on remarque que \(u_{n+1} = f(u_n)\).

Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(u_1 = \dfrac{5 \times 1 + 4}{1 + 2} = \dfrac{9}{3} = 3\). Alors, on a bien \(0 \leqslant 1 \leqslant 3 \leqslant 4\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\). Ces quatre nombres sont dans \([0\,;\,+\infty[\), où \(f\) est croissante ; appliquer \(f\) conserve donc l'ordre : \(f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(4)\).

Or \(f(0) = \dfrac{4}{2} = 2\), \(f(u_n) = u_{n+1}\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\) et \(f(4) = \dfrac{24}{6} = 4\). Donc on obtient \(2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4\), et a fortiori \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).

Question 2 b

2. b) Justifier que \((u_n)\) converge.

L'inégalité \(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\) montre que la suite est croissante ; l'inégalité \(u_n \leqslant 4\) montre qu'elle est majorée par 4. D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge.

La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 4, donc elle converge (vers une limite \(\ell \leqslant 4\)).

3. Limite de \((u_n)\) et interprétation.

La suite \(\left(3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\), et \(-1 \lt \frac{1}{2} \lt 1\), donc \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\) tend vers 0 et \(3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\) aussi.

La suite \((4 - u_n)\) est encadrée entre la suite nulle et une suite qui tend vers 0 : d'après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (4 - u_n) = 0\), c'est-à-dire \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 4\).

Comme \(u_n\) s'exprime en milliers, le nombre de collaborateurs satisfaits se rapproche de 4 000 au fil des mois, sur les 5 000 que compte l'entreprise.

\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 4\) : à long terme, environ 4 000 collaborateurs seront satisfaits du dispositif.

Corrigé de l’exercice A (bac 2021, Centres étrangers, jour 1) (au choix) 5 points

Géométrie dans l'espace : produit scalaire, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume d'un tétraèdre, angle

1. Montrer que ABC est rectangle en A.

Ensuite, on calcule les coordonnées des vecteurs issus de A : \(\overrightarrow{AB}(3-2\,;\,-1+1\,;\,2-0)\), soit \(\overrightarrow{AB}(1\,;\,0\,;\,2)\), et \(\overrightarrow{AC}(0-2\,;\,4+1\,;\,1-0)\), soit \(\overrightarrow{AC}(-2\,;\,5\,;\,1)\).

Le repère étant orthonormé, le produit scalaire se calcule avec les coordonnées : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-2) + 0 \times 5 + 2 \times 1 = 0\).

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\) : les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, le triangle ABC est rectangle en A.

2. a) Montrer que \(\overrightarrow{n}(2\,;\,1\,;\,-1)\) est orthogonal au plan (ABC).

Un vecteur est orthogonal à un plan dès qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\overrightarrow{AB}\) est nulle, pas celle de \(\overrightarrow{AC}\)).

\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \times 1 + 1 \times 0 + (-1) \times 2 = 0\) et \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times (-2) + 1 \times 5 + (-1) \times 1 = 0\).

\(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\), donc au plan (ABC) : c'est un vecteur normal de ce plan.

2. b) Équation cartésienne de (ABC).

Un plan de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) a une équation de la forme \(ax + by + cz + d = 0\). Ici : \(2x + y - z + d = 0\).

Par ailleurs, on détermine \(d\) avec un point du plan, par exemple A(2 ; −1 ; 0) : \(2 \times 2 + (-1) - 0 + d = 0\), d'où \(d = -3\). Vérification avec B : \(6 - 1 - 2 - 3 = 0\), et avec C : \(0 + 4 - 1 - 3 = 0\).

Le plan (ABC) a pour équation \(2x + y - z - 3 = 0\).

Question 2 c

2. c) A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

Il suffit de montrer que S n'appartient pas au plan (ABC). Puis on remplace ses coordonnées dans l'équation : \(2 \times 0 + 1 - 4 - 3 = -6 \neq 0\).

S n'est pas dans le plan (ABC), donc les quatre points A, B, C, S ne sont pas coplanaires.

3. a) Représentation paramétrique de \((d)\).

La droite \((d)\) est orthogonale au plan (ABC), donc elle est dirigée par le vecteur normal \(\overrightarrow{n}(2\,;\,1\,;\,-1)\). Elle passe par S(0 ; 1 ; 4).

\((d) : \begin{cases} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 4 - t \end{cases}\) avec \(t \in \mathbb{R}\).

3. b) Coordonnées de H.

H est le point commun à \((d)\) et au plan (ABC). Ensuite, on injecte la représentation paramétrique dans l'équation du plan : \(2(2t) + (1+t) - (4-t) - 3 = 0\), soit \(6t - 6 = 0\), donc \(t = 1\).

Pour \(t = 1\) : \(x = 2\), \(y = 2\), \(z = 3\).

Le point H a pour coordonnées \((2\,;\,2\,;\,3)\).

4. Volume du tétraèdre SABC.

Ensuite, on prend pour base le triangle ABC. Il est rectangle en A, son aire vaut donc \(\dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2}\), avec \(\text{AB} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}\) et \(\text{AC} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{30}\).

\[\text{aire}(ABC) = \dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{30}}{2} = \dfrac{\sqrt{150}}{2} = \dfrac{5\sqrt{6}}{2}.\]

La hauteur associée est la distance de S au plan (ABC), c'est-à-dire SH puisque H est le projeté orthogonal de S sur ce plan. \(\overrightarrow{SH}(2\,;\,1\,;\,-1)\), donc \(\text{SH} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\).

\[V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5\sqrt{6}}{2} \times \sqrt{6} = \dfrac{5 \times 6}{6} = 5.\]

Le volume du tétraèdre SABC est \(V = 5\) unités de volume.

Question 5 a

5. a) Longueur SA.

\(\overrightarrow{SA}(2 - 0\,;\,-1 - 1\,;\,0 - 4)\), soit \(\overrightarrow{SA}(2\,;\,-2\,;\,-4)\), d'où \(\text{SA} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24}\).

\(\text{SA} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).

5. b) Mesure de l'angle \(\widehat{\text{ASB}}\).

Puis on utilise les deux expressions du produit scalaire : l'une avec les coordonnées, l'autre avec les normes et le cosinus, \(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = \text{SA} \times \text{SB} \times \cos \widehat{\text{ASB}}\).

\(\overrightarrow{SB}(3\,;\,-2\,;\,-2)\) (et l'on retrouve bien \(\text{SB} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}\)). Avec les coordonnées : \(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = 2 \times 3 + (-2)(-2) + (-4)(-2) = 6 + 4 + 8 = 18\).

\[\cos \widehat{\text{ASB}} = \dfrac{18}{2\sqrt{6} \times \sqrt{17}} = \dfrac{9}{\sqrt{102}} \approx 0{,}8911.\]

La calculatrice, en mode degré, donne \(\arccos\left(\dfrac{9}{\sqrt{102}}\right) \approx 26{,}98^\circ\).

\(\widehat{\text{ASB}} \approx 27{,}0^\circ\) au dixième de degré.

Corrigé de l’exercice B (bac 2021, Centres étrangers, jour 1) (au choix) 5 points

Fonction exponentielle, dérivée et variations, équation différentielle \(y' = ay\), tangente, position relative courbe/tangente

Partie A

1. Calculer \(g'(x)\).

La dérivée de \(x \mapsto \text{e}^{kx}\) est \(x \mapsto k\text{e}^{kx}\). Avec \(k = -\frac{1}{3}\), la dérivée de \(2\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\) est \(2 \times \left(-\frac{1}{3}\right)\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\). La dérivée de \(\frac{2}{3}x\) est \(\frac{2}{3}\), celle de la constante \(-2\) est nulle.

Pour tout réel \(x\), \(g'(x) = -\dfrac{2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}\).

2. Sens de variation de \(g\).

Ensuite, on factorise pour étudier le signe : \(g'(x) = \dfrac{2}{3}\left(1 - \text{e}^{-\frac{1}{3}x}\right)\). Le facteur \(\frac{2}{3}\) est positif, le signe de \(g'(x)\) est donc celui de \(1 - \text{e}^{-\frac{1}{3}x}\).

La fonction exponentielle est strictement croissante et vaut 1 en 0 : \(\text{e}^{-\frac{1}{3}x} \lt 1 \iff -\frac{1}{3}x \lt 0 \iff x \gt 0\). Ainsi \(g'(x) \gt 0\) pour \(x \gt 0\), \(g'(x) \lt 0\) pour \(x \lt 0\) et \(g'(0) = 0\).

\(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

3. Signe de \(g(x)\).

D'après la question précédente, \(g\) admet un minimum en 0, et ce minimum vaut \(g(0) = 2\text{e}^{0} + 0 - 2 = 0\). Pour tout réel \(x\), on a donc \(g(x) \geqslant g(0) = 0\), avec égalité seulement en \(x = 0\) (la monotonie est stricte de part et d'autre).

Pour tout réel \(x\), \(g(x) \geqslant 0\), et \(g(x) = 0\) uniquement pour \(x = 0\).

Partie B

1. Résoudre \((E) : 3y' + y = 0\).

Par ailleurs, on met l'équation sous la forme du cours \(y' = ay\) : \(3y' + y = 0 \iff y' = -\frac{1}{3}y\). Les solutions de \(y' = ay\) sur \(\mathbb{R}\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{ax}\), où \(C\) est une constante réelle.

Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), avec \(C \in \mathbb{R}\).

2. Solution dont la courbe passe par M(0 ; 2).

Puis on cherche \(C\) tel que la solution \(y\) vérifie \(y(0) = 2\) : \(C\text{e}^{0} = C = 2\).

La solution cherchée est \(x \mapsto 2\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), c'est-à-dire la fonction \(f\) de la question suivante.

3. a) Équation de la tangente \((\Delta_0)\).

La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\). Ainsi, on a \(f(0) = 2\) et \(f'(x) = -\frac{2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), d'où \(f'(0) = -\frac{2}{3}\). Autre façon de le voir : \(f\) est solution de \((E)\), donc \(f'(0) = -\frac{1}{3}f(0) = -\frac{2}{3}\).

\((\Delta_0) : y = -\dfrac{2}{3}x + 2\).

3. b) Position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \((\Delta_0)\).

Alors, on étudie le signe de la différence entre l'ordonnée du point de la courbe et celle du point de la tangente de même abscisse :

\[f(x) - \left(-\dfrac{2}{3}x + 2\right) = 2\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}x - 2 = g(x).\]

La partie A a établi que \(g(x) \geqslant 0\) pour tout réel \(x\), avec égalité seulement en 0.

La courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente \((\Delta_0)\) sur \(\mathbb{R}\) ; elles n'ont en commun que le point M(0 ; 2).

Partie C

1. La tangente \((\Delta_a)\) coupe l'axe des abscisses en \(x = a + 3\).

La tangente en A d'abscisse \(a\) a pour équation \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\), avec \(f(a) = 2\text{e}^{-\frac{a}{3}}\) et \(f'(a) = -\frac{2}{3}\text{e}^{-\frac{a}{3}}\). Son coefficient directeur n'est pas nul, elle coupe donc bien l'axe des abscisses. Puis on cherche le point de \((\Delta_a)\) d'ordonnée nulle :

\[-\dfrac{2}{3}\text{e}^{-\frac{a}{3}}(x - a) + 2\text{e}^{-\frac{a}{3}} = 0 \iff \text{e}^{-\frac{a}{3}}\left(-\dfrac{2}{3}(x - a) + 2\right) = 0.\]

Une exponentielle ne s'annule jamais, on peut donc simplifier par \(\text{e}^{-\frac{a}{3}}\) : \(-\frac{2}{3}(x - a) + 2 = 0 \iff x - a = 3 \iff x = a + 3\).

\((\Delta_a)\) coupe l'axe des abscisses au point P\((a + 3\,;\,0)\), quel que soit le réel \(a\).

2. Construire la tangente \((\Delta_{-2})\).

Ensuite, on applique le résultat précédent avec \(a = -2\) : la tangente au point B coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse \(-2 + 3 = 1\), c'est-à-dire en P(1 ; 0).

Construction : on place sur la courbe \(\mathcal{C}_f\) le point B d'abscisse \(-2\) (son ordonnée est \(2\text{e}^{\frac{2}{3}} \approx 3{,}9\)), on place le point P(1 ; 0) sur l'axe des abscisses, puis on trace la droite (BP). Il n'est pas nécessaire de calculer le coefficient directeur.

\((\Delta_{-2})\) est la droite (BP), où B est le point de \(\mathcal{C}_f\) d'abscisse \(-2\) et P(1 ; 0).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Le sens de variation de \(f\) se lit sur le signe de \(f'\), pas sur les variations de \(f'\) : c'est le piège de la question 3 du QCM.
• « Aucun des deux défauts » est le contraire de \(A \cup B\) ; la formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) donne alors l'intersection.
• Pour une suite \(a_{n+1} = qa_n + r\), la suite auxiliaire \(v_n = a_n - \ell\) est géométrique ; en résolvant \(q^n \lt c\) avec \(\ln\), on change le sens de l'inégalité car \(\ln q \lt 0\).
• Une récurrence avec une fonction croissante : on applique \(f\) à l'encadrement, puis on calcule \(f(0)\) et \(f(4)\).
• « Moins de 13 » signifie \(X \leqslant 12\) pour une variable entière : lire l'inégalité avec soin avant d'utiliser la calculatrice.
• Pour situer une courbe par rapport à sa tangente, on étudie le signe de la différence \(f(x) - (\text{équation de la tangente})\).

Revenir à l'énoncé du bac de maths 2021 (Centres étrangers, jour 1) · Tous les sujets du bac de maths

Ce que contient le corrigé du bac 2021, Centres étrangers, jour 1

Ce corrigé du bac 2021, Centres étrangers, jour 1 du 9 juin 2021 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : qCM : dérivée seconde, combinaisons, lecture du signe d'une dérivée, probabilité d'une réunion, tableau de variation. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) traite : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) aborde : suite arithmético-géométrique, suite géométrique auxiliaire, inéquation avec ln, raisonnement par récurrence, convergence monotone, théorème des gendarmes. Puis, la correction de l'exercice au (5 points) porte sur : géométrie dans l'espace : produit scalaire, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volume d'un tétraèdre, angle. Enfin, la correction de l'exercice 5 traite : fonction exponentielle, dérivée et variations, équation différentielle, tangente, position relative courbe/tangente.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2021, Centres étrangers, jour 1

Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

Les autres corrigés de 2021

• Corrigé France, jour 1
• Corrigé France, mars, sujet 1
• Corrigé France, jour 2
• Corrigé France, mars, sujet 2
• Corrigé Amérique du Nord, mai
• Corrigé Centres étrangers, jour 2
• Corrigé France, septembre, jour 1
• Corrigé France, septembre, jour 2

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du bac de maths 2021 : Centres étrangers, jour 1» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 200 802 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.