Corrigé du bac de maths 2021 : France, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2021, France, jour 2) 4 points

Géométrie dans l'espace : représentation paramétrique, vecteur directeur, position relative de deux droites, droite parallèle à un plan

Question 1. Quel point appartient à \( \mathcal{D}' \) ?

Pour chaque point, on cherche une valeur de \( t \) qui convient pour les trois coordonnées à la fois. Avec la première coordonnée de \( \text{M}_2 \) : \( -4 + 3t = 11 \) donne \( t = 5 \). Ensuite, on contrôle les deux autres : \( 6 - 3 \times 5 = -9 \) et \( 8 - 6 \times 5 = -22 \). Ensuite, les trois coordonnées concordent.

Les autres points échouent : pour \( \text{M}_1 \), \( t = 1 \) donne \( z = 2 \neq -2 \) ; pour \( \text{M}_3 \), \( t = -1 \) donne \( z = 14 \neq 2 \) ; pour \( \text{M}_4 \), \( t = \dfrac{2}{3} \) donne \( y = 4 \neq 3 \).

Réponse b : \( \text{M}_2(11~;~-9~;~-22) \in \mathcal{D}' \) (paramètre \( t = 5 \)).

Question 2. Un vecteur directeur de \( \mathcal{D}' \).

Dans une représentation paramétrique, les coefficients de \( t \) forment un vecteur directeur. Ici on lit \( (3~;~-3~;~-6) \). Par ailleurs, le vecteur \( \overrightarrow{u_2} \) a le bon premier terme mais pas le bon signe ensuite, \( \overrightarrow{u_1} \) contient les coordonnées d'un point et \( \overrightarrow{u_4} \) n'est pas colinéaire à \( (3~;~-3~;~-6) \).

Réponse c : \( \overrightarrow{u_3}(3~;~-3~;~-6) \).

Question 3. Position relative de \( \mathcal{D} \) et \( \mathcal{D}' \).

Un vecteur directeur de \( \mathcal{D} \) est \( \overrightarrow{\text{AB}}(-1-1~;~3-1~;~2-(-2)) \), soit \( \overrightarrow{\text{AB}}(-2~;~2~;~4) \). Par ailleurs, on remarque que \( \overrightarrow{u_3} = -\dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{\text{AB}} \) : les deux vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles (strictement ou confondues).

Pour trancher, on teste si le point A est sur \( \mathcal{D}' \) : \( -4 + 3t = 1 \) donne \( t = \dfrac{5}{3} \), puis \( 6 - 3 \times \dfrac{5}{3} = 1 \) et \( 8 - 6 \times \dfrac{5}{3} = -2 \). Ensuite, on retrouve bien \( \text{A}(1~;~1~;~-2) \). Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues.

Réponse d : les droites \( \mathcal{D} \) et \( \mathcal{D}' \) sont confondues.

Question 4. Valeur de \( m \) pour que \( \mathcal{D} \) soit parallèle à \( \mathcal{P} \).

D'après l'équation cartésienne, \( \vec{n}(1~;~m~;~-2) \) est un vecteur normal à \( \mathcal{P} \). Puis la droite \( \mathcal{D} \) est parallèle au plan exactement quand son vecteur directeur est orthogonal à ce vecteur normal :

\[ \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \vec{n} = -2 \times 1 + 2 \times m + 4 \times (-2) = 2m - 10. \]

Ce produit scalaire est nul si et seulement si \( m = 5 \).

Réponse c : \( m = 5 \).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, France, jour 2) 6 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance, seuil et logarithme, programme Python

1. a) Arbre pondéré.

Le premier niveau sépare les chats porteurs (\( M \)) des autres, le second niveau indique le résultat du test. Ensuite, les probabilités sur les branches issues d'un même nœud ont pour somme 1 : \( P(\overline{M}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6 \), \( P_M(\overline{T}) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1 \) et, puisque le test est négatif dans 85 % des cas chez un chat sain, \( P_{\overline{M}}(T) = 0{,}15 \).

• \( M \) avec probabilité \( 0{,}4 \)
  • puis \( T \) avec probabilité \( 0{,}9 \)
  • puis \( \overline{T} \) avec probabilité \( 0{,}1 \)
• \( \overline{M} \) avec probabilité \( 0{,}6 \)
  • puis \( T \) avec probabilité \( 0{,}15 \)
  • puis \( \overline{T} \) avec probabilité \( 0{,}85 \)

Arbre : \( P(M) = 0{,}4 \), \( P_M(T) = 0{,}9 \), \( P_{\overline{M}}(T) = 0{,}15 \) et les branches complémentaires.

1. b) Probabilité que le chat soit porteur et testé positif.

Ensuite, on cherche \( P(M \cap T) \) : on multiplie les probabilités le long du chemin \( M \to T \).

\[ P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}4 \times 0{,}9 = 0{,}36. \]

En conclusion : \( P(M \cap T) = 0{,}36 \).

1. c) Montrer que \( P(T) = 0{,}45 \).

Les évènements \( M \) et \( \overline{M} \) forment une partition de l'univers. Puis le chemin \( \overline{M} \to T \) donne \( P(\overline{M} \cap T) = 0{,}6 \times 0{,}15 = 0{,}09 \). De plus, la formule des probabilités totales additionne les deux chemins qui aboutissent à \( T \) :

\[ P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}36 + 0{,}09 = 0{,}45. \]

En conclusion : \( P(T) = 0{,}45 \).

Question 1 d

1. d) Probabilité qu'un chat testé positif soit porteur.

Alors, on sait déjà que le test est positif : c'est une probabilité conditionnelle sachant \( T \), qu'on obtient par la définition.

\[ P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}36}{0{,}45} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8. \]

Autrement dit, un test positif laisse encore une chance sur cinq que le chat soit sain.

En conclusion : \( P_T(M) = 0{,}8 \).

2. a) Loi de \( X \).

Examiner un chat est une épreuve à deux issues : « test positif » (succès) de probabilité \( p = 0{,}45 \) d'après 1. c), ou « test négatif ». Ensuite, le choix étant assimilé à un tirage avec remise, on répète 20 fois cette épreuve de façon identique et indépendante : c'est un schéma de Bernoulli. \( X \) compte le nombre de succès.

En conclusion : \( X \) suit la loi binomiale \( \mathcal{B}(20~;~0{,}45) \).

2. b) Probabilité d'avoir exactement 5 chats positifs.

Puis on applique la formule de la loi binomiale avec \( k = 5 \) :

\[ P(X = 5) = \binom{20}{5} \times 0{,}45^5 \times 0{,}55^{15} = 15\,504 \times 0{,}45^5 \times 0{,}55^{15} \approx 0{,}0365. \]

En conclusion : \( P(X = 5) \approx 0{,}036 \) (au millième, \( 0{,}03647 \) s'arrondit à \( 0{,}036 \)).

Question 2 c

2. c) Probabilité d'avoir au plus 8 chats positifs.

« Au plus 8 » signifie \( X \leqslant 8 \). Ensuite, on utilise la fonction de répartition de la calculatrice (binomFRép ou équivalent) avec \( n = 20 \), \( p = 0{,}45 \) et la borne 8 :

\[ P(X \leqslant 8) = \sum_{k=0}^{8} \binom{20}{k}\, 0{,}45^k\, 0{,}55^{20-k} \approx 0{,}4143. \]

En conclusion : \( P(X \leqslant 8) \approx 0{,}414 \).

2. d) Espérance de \( X \) et interprétation.

Pour une loi binomiale, l'espérance vaut \( n \times p \) :

\[ E(X) = 20 \times 0{,}45 = 9. \]

Interprétation : si l'on prélève un grand nombre d'échantillons de 20 chats dans ce centre, on observe en moyenne 9 tests positifs par échantillon.

En conclusion : \( E(X) = 9 \) chats positifs en moyenne sur 20.

3. a) Montrer que \( p_n = 1 - 0{,}55^n \).

Soit \( Y \) le nombre de chats positifs parmi les \( n \) choisis. Par ailleurs, pour les mêmes raisons qu'en 2. a), \( Y \) suit la loi \( \mathcal{B}(n~;~0{,}45) \). L'évènement « au moins un chat positif » est le contraire de « aucun chat positif », c'est-à-dire de \( Y = 0 \). Or \( P(Y = 0) = \binom{n}{0} \times 0{,}45^0 \times 0{,}55^n = 0{,}55^n \). Donc :

\[ p_n = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0{,}55^n. \]

En conclusion : \( p_n = 1 - 0{,}55^n \) pour tout entier naturel \( n \).

Question 3 b

3. b) Rôle du programme seuil.

Le programme part d'un échantillon vide (\( n = 0 \), \( P = 0 \)). À chaque passage dans la boucle, il ajoute un chat à l'échantillon et recalcule \( P = p_n \). Puis la boucle s'arrête dès que \( P \) atteint ou dépasse \( 0{,}99 \) ; le programme renvoie alors \( n \).

Rôle : le programme renvoie la plus petite taille \( n \) d'échantillon pour laquelle la probabilité d'avoir au moins un chat positif est supérieure ou égale à \( 0{,}99 \).

3. c) Valeur renvoyée par le programme.

Alors, on résout l'inéquation \( 1 - 0{,}55^n \geqslant 0{,}99 \), qui équivaut à \( 0{,}55^n \leqslant 0{,}01 \). Ensuite, la fonction \( \ln \) est strictement croissante sur \( ]0~;~+\infty[ \), elle conserve donc l'ordre :

\[ n \ln(0{,}55) \leqslant \ln(0{,}01). \]

Comme \( 0{,}55 \lt 1 \), le nombre \( \ln(0{,}55) \) est strictement négatif ; en divisant par lui, on change le sens de l'inégalité :

\[ n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}55)} \approx 7{,}70. \]

Le plus petit entier qui convient est 8. Vérification : \( 1 - 0{,}55^7 \approx 0{,}9848 \lt 0{,}99 \) alors que \( 1 - 0{,}55^8 \approx 0{,}9916 \geqslant 0{,}99 \).

En conclusion : le programme renvoie \( n = 8 \).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2021, France, jour 2) 5 points

Suite définie par récurrence, raisonnement par récurrence, monotonie, convergence monotone, suite arithmétique auxiliaire, limite

1. Conjecturer l'expression de \( \dfrac{4}{u_n} \).

Dans la dernière colonne du tableur, on lit 4, 5, 6, …, 16 : chaque valeur dépasse la précédente de 1 et, au rang \( n \), elle vaut \( n + 4 \) (par exemple 16 pour \( n = 12 \)).

Conjecture : pour tout entier naturel \( n \), \( \dfrac{4}{u_n} = n + 4 \).

2. Montrer par récurrence que \( u_n \gt 0 \).

Pour tout entier naturel \( n \), notons \( \mathcal{P}(n) \) la propriété « \( u_n \gt 0 \) ».

Initialisation. \( u_0 = 1 \) est strictement positif : \( \mathcal{P}(0) \) est vraie.

Hérédité. Soit \( n \) un entier naturel tel que \( u_n \gt 0 \). Alors le numérateur \( 4u_n \) est strictement positif, et le dénominateur \( u_n + 4 \) l'est aussi puisqu'il dépasse 4. Puis le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif, donc \( u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4} \gt 0 \) : \( \mathcal{P}(n+1) \) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel.

Pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \gt 0 \).

Question 3

3. Montrer que \( (u_n) \) est décroissante.

Puis on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs en réduisant au même dénominateur :

\[ u_{n+1} - u_n = \dfrac{4u_n}{u_n + 4} - \dfrac{u_n(u_n + 4)}{u_n + 4} = \dfrac{4u_n - u_n^2 - 4u_n}{u_n + 4} = \dfrac{-u_n^2}{u_n + 4}. \]

D'après la question 2, \( u_n \gt 0 \) : le numérateur \( -u_n^2 \) est strictement négatif et le dénominateur \( u_n + 4 \) strictement positif. De plus, la différence est donc strictement négative pour tout \( n \).

En conclusion : \( u_{n+1} - u_n \lt 0 \) pour tout \( n \), la suite \( (u_n) \) est (strictement) décroissante.

4. Conséquence des questions 2 et 3.

La suite est décroissante (question 3) et minorée par 0 (question 2). Ensuite, le théorème de convergence monotone affirme qu'une suite décroissante et minorée converge. Sa limite \( \ell \) vérifie de plus \( \ell \geqslant 0 \), par passage à la limite dans \( u_n \gt 0 \).

En conclusion : la suite \( (u_n) \) converge vers un réel \( \ell \geqslant 0 \).

5. Nature de \( (v_n) \), raison, premier terme, expression de \( v_n \).

La suite \( (v_n) \) est bien définie car \( u_n \neq 0 \). Ensuite, on calcule \( v_{n+1} \) en remplaçant \( u_{n+1} \) par son expression ; diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[ v_{n+1} = \dfrac{4}{u_{n+1}} = 4 \times \dfrac{u_n + 4}{4u_n} = \dfrac{u_n + 4}{u_n} = 1 + \dfrac{4}{u_n} = v_n + 1. \]

Ensuite, on passe donc d'un terme au suivant en ajoutant toujours 1 : la suite \( (v_n) \) est arithmétique de raison \( r = 1 \). Son premier terme est \( v_0 = \dfrac{4}{u_0} = 4 \). Pour une suite arithmétique, \( v_n = v_0 + n r \).

\( (v_n) \) est arithmétique de raison 1 et de premier terme \( v_0 = 4 \) ; pour tout \( n \), \( v_n = n + 4 \), ce qui démontre la conjecture de la question 1.

Question 6

6. Expression de \( u_n \) et limite.

De \( v_n = \dfrac{4}{u_n} \) on tire \( u_n = \dfrac{4}{v_n} \), donc :

\[ u_n = \dfrac{4}{n + 4}. \]

Quand \( n \) tend vers \( +\infty \), le dénominateur \( n + 4 \) tend vers \( +\infty \) tandis que le numérateur reste égal à 4 ; le quotient tend donc vers 0. Par ailleurs, on retrouve une limite positive ou nulle, cohérente avec la question 4.

Pour tout \( n \), \( u_n = \dfrac{4}{n+4} \) et \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \).

Corrigé de l’exercice au (bac 2021, France, jour 2) choix 5 points

Exercice A : limites avec ln, dérivée d'un quotient, théorème des valeurs intermédiaires, position de deux courbes. Puis, exercice B : lecture graphique de f', dérivées de produits avec l'exponentielle, croissances comparées, convexité, point d'inflexion

Exercice A — Partie 1

1. Limites de \( h \) en 0 et en \( +\infty \).

En 0. Quand \( x \) tend vers 0 par valeurs positives, \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \) et \( x^2 \) tend vers 0 en restant positif. Par quotient, \( \dfrac{\ln(x)}{x^2} \) tend vers \( -\infty \), puis, en ajoutant 1, \( h(x) \) aussi. (Aucune forme indéterminée ici.)

En \( +\infty \). Ensuite, on écrit \( \dfrac{\ln(x)}{x^2} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{\ln(x)}{x} \). Par croissances comparées, \( \dfrac{\ln(x)}{x} \) tend vers 0, et \( \dfrac{1}{x} \) aussi ; le produit tend vers 0, donc \( h(x) \) tend vers 1. La courbe de \( h \) admet la droite d'équation \( y = 1 \) comme asymptote en \( +\infty \).

\( \displaystyle\lim_{x \to 0} h(x) = -\infty \) et \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1 \).

2. Calcul de \( h'(x) \).

Alors, on dérive le quotient \( \dfrac{u}{v} \) avec \( u(x) = \ln(x) \), \( u'(x) = \dfrac{1}{x} \), \( v(x) = x^2 \), \( v'(x) = 2x \), selon \( \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \). La constante 1 a une dérivée nulle :

\[ h'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x^2 - \ln(x) \times 2x}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln(x)}{x^4} = \dfrac{x\,(1 - 2\ln(x))}{x \times x^3} = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}. \]

Pour tout \( x \gt 0 \), \( h'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3} \).

Question 3

3. Variations de \( h \).

Sur \( ]0~;~+\infty[ \), \( x^3 \gt 0 \) : \( h'(x) \) a le signe de \( 1 - 2\ln(x) \). Or \( 1 - 2\ln(x) \gt 0 \iff \ln(x) \lt \dfrac{1}{2} \iff x \lt \text{e}^{1/2} = \sqrt{\text{e}} \), car la fonction exponentielle est strictement croissante. Donc \( h' \) est positive avant \( \sqrt{\text{e}} \), s'annule en \( \sqrt{\text{e}} \) et est négative après.

La valeur du maximum : \( h(\sqrt{\text{e}}) = 1 + \dfrac{\ln(\text{e}^{1/2})}{(\text{e}^{1/2})^2} = 1 + \dfrac{1/2}{\text{e}} = 1 + \dfrac{1}{2\text{e}} \approx 1{,}18 \).

\( h \) est strictement croissante sur \( ]0~;~\sqrt{\text{e}}] \) et strictement décroissante sur \( [\sqrt{\text{e}}~;~+\infty[ \), avec un maximum \( 1 + \dfrac{1}{2\text{e}} \).

4. Unique solution \( \alpha \) de \( h(x) = 0 \) et encadrement.

Sur \( [\sqrt{\text{e}}~;~+\infty[ \) : \( h \) décroît de \( 1 + \dfrac{1}{2\text{e}} \) vers sa limite 1 sans l'atteindre, donc \( h(x) \gt 1 \gt 0 \) : aucune solution sur cet intervalle.

Sur \( ]0~;~\sqrt{\text{e}}] \) : \( h \) est continue (car dérivable) et strictement croissante, elle prend toutes les valeurs de \( ]-\infty~;~1 + \dfrac{1}{2\text{e}}] \), intervalle qui contient 0. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l'équation \( h(x) = 0 \) a exactement une solution \( \alpha \) dans cet intervalle.

Encadrement : \( h\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1 + \dfrac{\ln(0{,}5)}{0{,}25} = 1 + 4\ln(0{,}5) \approx -1{,}77 \lt 0 \) et \( h(1) = 1 + 0 = 1 \gt 0 \). Comme \( \dfrac{1}{2} \) et 1 sont dans \( ]0~;~\sqrt{\text{e}}] \) où \( h \) est croissante, la valeur où \( h \) s'annule se situe entre les deux. La calculatrice donne \( \alpha \approx 0{,}653 \).

L'équation \( h(x) = 0 \) a une unique solution \( \alpha \) sur \( ]0~;~+\infty[ \), et \( \dfrac{1}{2} \lt \alpha \lt 1 \).

Question 5

5. Signe de \( h(x) \).

Sur \( ]0~;~\sqrt{\text{e}}] \), \( h \) est strictement croissante et s'annule en \( \alpha \) : elle est négative avant \( \alpha \), positive après. Sur \( [\sqrt{\text{e}}~;~+\infty[ \), on a vu que \( h(x) \gt 1 \).

\( h(x) \lt 0 \) sur \( ]0~;~\alpha[ \), \( h(\alpha) = 0 \) et \( h(x) \gt 0 \) sur \( ]\alpha~;~+\infty[ \).

Exercice A — Partie 2

1. Montrer que \( f_1(x) - f_2(x) = h(x) \).

Ensuite, on soustrait en faisant attention aux signes devant la parenthèse :

\[ f_1(x) - f_2(x) = x - 1 - \dfrac{\ln(x)}{x^2} - x + 2 + \dfrac{2\ln(x)}{x^2} = 1 + \dfrac{\ln(x)}{x^2} = h(x). \]

Pour tout \( x \gt 0 \), \( f_1(x) - f_2(x) = h(x) \).

2. Position relative de \( \mathcal{C}_1 \) et \( \mathcal{C}_2 \), point d'intersection.

Étudier la position de deux courbes revient à étudier le signe de la différence \( f_1(x) - f_2(x) \), c'est-à-dire, ici, le signe de \( h(x) \) trouvé en Partie 1, question 5.

• Sur \( ]0~;~\alpha[ \), \( h(x) \lt 0 \), donc \( f_1(x) \lt f_2(x) \) : \( \mathcal{C}_1 \) est au-dessous de \( \mathcal{C}_2 \).
• Sur \( ]\alpha~;~+\infty[ \), \( h(x) \gt 0 \), donc \( f_1(x) \gt f_2(x) \) : \( \mathcal{C}_1 \) est au-dessus de \( \mathcal{C}_2 \).
• Les courbes se coupent là où \( f_1(x) = f_2(x) \), soit \( h(x) = 0 \) : c'est uniquement en \( x = \alpha \).

Ordonnée du point commun : \( f_1(\alpha) = \alpha - \left(1 + \dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2}\right) = \alpha - h(\alpha) = \alpha - 0 = \alpha \).

\( \mathcal{C}_1 \) est sous \( \mathcal{C}_2 \) sur \( ]0~;~\alpha[ \), au-dessus sur \( ]\alpha~;~+\infty[ \), et leur unique point d'intersection est \( (\alpha~;~\alpha) \).

Exercice B — Partie 1

1. Conjecture sur le sens de variation de \( f \).

Le sens de variation de \( f \) se lit sur le signe de \( f' \), c'est-à-dire sur la position de la courbe donnée par rapport à l'axe des abscisses. La courbe de \( f' \) est au-dessus de l'axe pour \( x \lt -1 \), le coupe en \( x = -1 \), puis reste au-dessous pour \( x \gt -1 \) (elle se rapproche de 0 sans le rejoindre).

Conjecture : \( f \) est croissante sur \( ]-\infty~;~-1] \) et décroissante sur \( [-1~;~+\infty[ \), avec un maximum en \( x = -1 \).

2. Conjecture sur la convexité de \( f \).

Une fonction est convexe là où sa dérivée est croissante, concave là où sa dérivée est décroissante. La courbe de \( f' \) descend jusqu'à son point le plus bas, d'abscisse 0 (où \( f' \) vaut \( -1 \)), puis remonte.

Conjecture : \( f \) est concave sur \( ]-\infty~;~0] \) et convexe sur \( [0~;~+\infty[ \) ; le point d'abscisse 0 serait un point d'inflexion.

Exercice B — Partie 2

1. Autre écriture de \( f(x) \), limite en \( +\infty \), asymptote.

Ensuite, on développe, puis on utilise \( \text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^{x}} \) : \( f(x) = x\,\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + 2\text{e}^{-x} \).

La forme \( (x+2)\text{e}^{-x} \) conduit à « \( +\infty \times 0 \) », d'où l'intérêt de cette écriture. Par croissances comparées, \( \dfrac{\text{e}^{x}}{x} \) tend vers \( +\infty \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \), donc son inverse \( \dfrac{x}{\text{e}^{x}} \) tend vers 0. De même, par ailleurs \( \text{e}^{-x} \) tend vers 0. Par somme, \( f(x) \) tend vers 0.

Une limite finie égale à 0 en \( +\infty \) signifie que la courbe se rapproche de la droite d'équation \( y = 0 \).

\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \) : l'axe des abscisses (droite \( y = 0 \)) est asymptote horizontale à \( \mathcal{C} \) en \( +\infty \).

2. a) Calcul de \( f'(x) \).

\( f \) est le produit de \( u(x) = x + 2 \), avec \( u'(x) = 1 \), et de \( v(x) = \text{e}^{-x} \), avec \( v'(x) = -\text{e}^{-x} \). La formule \( (uv)' = u'v + uv' \) donne :

\[ f'(x) = 1 \times \text{e}^{-x} + (x + 2) \times \left(-\text{e}^{-x}\right) = (1 - x - 2)\,\text{e}^{-x} = (-x - 1)\,\text{e}^{-x}. \]

Pour tout réel \( x \), \( f'(x) = (-x - 1)\text{e}^{-x} \).

Question 2 b

2. b) Variations de \( f \) et tableau.

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \( f'(x) \) a le signe de \( -x - 1 \), qui est positif pour \( x \lt -1 \), nul en \( -1 \) et négatif pour \( x \gt -1 \). Valeur du maximum : \( f(-1) = (-1 + 2)\text{e}^{1} = \text{e} \approx 2{,}72 \). Les limites aux bornes viennent de la question 1 et de l'énoncé.

\( f \) est strictement croissante sur \( ]-\infty~;~-1] \), strictement décroissante sur \( [-1~;~+\infty[ \), de maximum \( f(-1) = \text{e} \) ; la conjecture de la Partie 1 est confirmée.

2. c) Unique solution de \( f(x) = 2 \) sur \( [-2~;~-1] \), valeur approchée.

Sur \( [-2~;~-1] \), \( f \) est continue (car dérivable) et strictement croissante. Aux bornes : \( f(-2) = 0 \times \text{e}^{2} = 0 \) et \( f(-1) = \text{e} \approx 2{,}72 \). Le nombre 2 est compris entre 0 et \( \text{e} \) ; le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires garantit donc une solution unique \( \alpha \) dans \( [-2~;~-1] \).

Pour l'approcher, on tabule \( f \) avec un pas de \( 0{,}1 \) : \( f(-1{,}6) = 0{,}4\,\text{e}^{1{,}6} \approx 1{,}98 \lt 2 \) et \( f(-1{,}5) = 0{,}5\,\text{e}^{1{,}5} \approx 2{,}24 \gt 2 \). Ainsi \( -1{,}6 \lt \alpha \lt -1{,}5 \). Un pas plus fin donne \( \alpha \approx -1{,}594 \), plus proche de \( -1{,}6 \).

L'équation \( f(x) = 2 \) a une unique solution \( \alpha \) dans \( [-2~;~-1] \), avec \( \alpha \approx -1{,}6 \) à \( 10^{-1} \) près.

Question 3

3. Expression de \( f''(x) \), convexité, point A.

Alors, on dérive \( f'(x) = (-x - 1)\text{e}^{-x} \) comme un produit, avec \( (-x-1)' = -1 \) :

\[ f''(x) = -1 \times \text{e}^{-x} + (-x - 1) \times \left(-\text{e}^{-x}\right) = (-1 + x + 1)\,\text{e}^{-x} = x\,\text{e}^{-x}. \]

Puisque \( \text{e}^{-x} \gt 0 \), \( f''(x) \) a le signe de \( x \) : \( f'' \) est négative sur \( ]-\infty~;~0] \), donc \( f \) y est concave, et positive sur \( [0~;~+\infty[ \), donc \( f \) y est convexe.

En \( x = 0 \), la dérivée seconde s'annule en changeant de signe : la courbe traverse sa tangente en ce point. Le point A a pour coordonnées \( (0~;~f(0)) = (0~;~2) \).

\( f''(x) = x\,\text{e}^{-x} \) ; \( f \) est concave sur \( ]-\infty~;~0] \) et convexe sur \( [0~;~+\infty[ \) ; le point \( \text{A}(0~;~2) \) est le point d'inflexion de \( \mathcal{C} \).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Pour tester si un point est sur une droite paramétrée, on cherche un même \( t \) valable pour les trois coordonnées ; pour distinguer « parallèles » et « confondues », on teste un point d'une droite dans l'autre.
• Une droite est parallèle à un plan quand son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan : produit scalaire nul.
• « Au moins un » se calcule par l'évènement contraire \( 1 - P(X = 0) \) ; en résolvant \( q^n \leqslant s \) avec \( \ln \), on change le sens de l'inégalité car \( \ln(q) \lt 0 \).
• Avec une suite du type \( \dfrac{a u_n}{u_n + b} \), la suite des inverses est souvent arithmétique : elle donne à la fois \( u_n \) et sa limite.
• Lire une courbe de \( f' \) : son signe donne les variations de \( f \), ses variations donnent la convexité de \( f \). Attention à bien lire l'abscisse où \( f' \) s'annule.
• Pour une équation \( f(x) = k \), on cite continuité, stricte monotonie et le fait que \( k \) est entre les images des bornes, puis on encadre la solution à la calculatrice.

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Présentation du corrigé du bac 2021, France, jour 2

Ce corrigé du bac 2021, France, jour 2 du 8 juin 2021 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (4 points) aborde : géométrie dans l'espace : représentation paramétrique, vecteur directeur, position relative de deux droites, droite parallèle à un plan. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (6 points) traite : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance, seuil et logarithme, programme Python. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) porte sur : suite définie par récurrence, raisonnement par récurrence, monotonie, convergence monotone, suite arithmétique auxiliaire, limite.

Enfin, au choix, l'exercice A porte sur limites avec ln, dérivée d'un quotient, théorème des valeurs intermédiaires, position de deux courbes, tandis que l'exercice B porte sur lecture graphique de f', dérivées de produits avec l'exponentielle, croissances comparées, convexité, point d'inflexion.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2021, France, jour 2

Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.

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