Sujet du bac de maths 2021 : France, jour 2
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2021
France — Candidats libres, sujet 2 — 8 juin 2021
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.
Exercice 1 (sujet de bac 2021, France, jour 2) 4 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Par ailleurs, pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Puis une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \( \left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right) \).
Désormais, on considère :
- La droite \( \mathcal{D} \) passant par les points \( \text{A}(1~;~1~;~-2) \) et \( \text{B}(-1~;~3~;~2) \).
- La droite \( \mathcal{D}' \) de représentation paramétrique : \( \left\{\begin{array}{l} x = -4+3t \\ y = 6-3t \\ z = 8-6t \end{array}\right. \) avec \( t \in \mathbb{R} \).
- Le plan \( \mathcal{P} \) d'équation cartésienne \( x + my - 2z + 8 = 0 \) où \( m \) est un nombre réel.
Question 1 : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite \( \mathcal{D}' \) ?
| a. \( \text{M}_1(-1~;~3~;~-2) \) | b. \( \text{M}_2(11~;~-9~;~-22) \) | c. \( \text{M}_3(-7~;~9~;~2) \) | d. \( \text{M}_4(-2~;~3~;~4) \) |
Ensuite, question 2 : Un vecteur directeur de la droite \( \mathcal{D}' \) est :
| a. \( \overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix} \) | b. \( \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix} \) | c. \( \overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix} \) | d. \( \overrightarrow{u_4}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} \) |
Question 3 : Les droites \( \mathcal{D} \) et \( \mathcal{D}' \) sont :
| a. sécantes | b. strictement parallèles | c. non coplanaires | d. confondues |
Également, question 4 : La valeur du réel \( m \) pour laquelle la droite \( \mathcal{D} \) est parallèle au plan \( \mathcal{P} \) est :
| a. \( m = -1 \) | b. \( m = 1 \) | c. \( m = 5 \) | d. \( m = -2 \) |
Exercice 2 (sujet de bac 2021, France, jour 2) 6 points
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.
Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la maladie.
Par ailleurs, on réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.
Ce test possède les caractéristiques suivantes.
- Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90 % des cas.
- Lorsque le chat n'est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85 % des cas.
Puis on choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :
- \( M \) : « Le chat est porteur de la maladie » ;
- \( T \) : « Le test du chat est positif » ;
- \( \overline{M} \) et \( \overline{T} \) désignent les évènements contraires des évènements \( M \) et \( T \) respectivement.
1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
b. Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
c. Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à \( 0{,}45 \).
d. Désormais, on choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Ensuite, calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie.
2. Ensuite, on choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de 20 chats au hasard. Puis en outre, on admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
Désormais, on note \( X \) la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l'échantillon choisi.
Question 2 a
a. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire \( X \).
b. Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement 5 chats présentant un test positif.
c. Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus 8 chats présentant un test positif.
d. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \( X \) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Dans cette question, on choisit un échantillon de \( n \) chats dans le centre, qu'on assimile encore à un tirage avec remise. Ensuite, on note \( p_n \) la probabilité qu'il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.
a. Montrer que \( p_n = 1 - 0{,}55^n \).
b. Décrire le rôle du programme ci-dessous écrit en langage Python, dans lequel la variable \( n \) est un entier naturel et la variable \( P \) un nombre réel.
def seuil():
n = 0
P = 0
while P < 0.99 :
n = n + 1
P = 1 - 0.55**n
return n
c. Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.
Exercice 3 (sujet de bac 2021, France, jour 2) 5 points
Commun à tous les candidats
Puis on considère la suite \( (u_n) \) définie par : \( u_0 = 1 \) et, pour tout entier naturel \( n \),
\[ u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}. \]
1. La copie d'écran ci-dessous présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des termes de la suite \( (u_n) \) pour \( n \) variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient \( \dfrac{4}{u_n} \) (avec, pour les valeurs de \( u_n \), affichage de deux chiffres pour les parties décimales).
| \( n \) | \( u_n \) | \( \dfrac{4}{u_n} \) |
|---|---|---|
| 0 | 1,00 | 4 |
| 1 | 0,80 | 5 |
| 2 | 0,67 | 6 |
| 3 | 0,57 | 7 |
| 4 | 0,50 | 8 |
| 5 | 0,44 | 9 |
| 6 | 0,40 | 10 |
| 7 | 0,36 | 11 |
| 8 | 0,33 | 12 |
| 9 | 0,31 | 13 |
| 10 | 0,29 | 14 |
| 11 | 0,27 | 15 |
| 12 | 0,25 | 16 |
À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de \( \dfrac{4}{u_n} \) en fonction de \( n \).
Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d'en déduire la limite de la suite \( (u_n) \) (question 6.).
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n \), on a : \( u_n \gt 0 \).
3. Démontrer que la suite \( (u_n) \) est décroissante.
4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite \( (u_n) \) ?
5. Désormais, on considère la suite \( (v_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par : \( v_n = \dfrac{4}{u_n} \).
Démontrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique.
Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire, pour tout entier naturel \( n \), l'expression de \( v_n \) en fonction de \( n \).
Question 6
6. Déterminer, pour tout entier naturel \( n \), l'expression de \( u_n \) en fonction de \( n \).
En déduire la limite de la suite \( (u_n) \).
Exercice au (sujet de bac 2021, France, jour 2) choix du candidat 5 points
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.
Exercice A
| Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation |
Exercice A — Partie 1
On désigne par \( h \) la fonction définie sur l'intervalle \( ]0~;~+\infty[ \) par :
\[ h(x) = 1 + \dfrac{\ln(x)}{x^2}. \]
Par ailleurs, on admet que la fonction \( h \) est dérivable sur \( ]0~;~+\infty[ \) et on note \( h' \) sa fonction dérivée.
1. Déterminez les limites de \( h \) en 0 et en \( +\infty \).
2. Montrer que, pour tout nombre réel \( x \) de \( ]0~;~+\infty[ \), \( h'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3} \).
3. En déduire les variations de la fonction \( h \) sur l'intervalle \( ]0~;~+\infty[ \).
4. Montrer que l'équation \( h(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) appartenant à \( ]0~;~+\infty[ \) et vérifier que : \( \dfrac{1}{2} \lt \alpha \lt 1 \).
5. Déterminer le signe de \( h(x) \) pour \( x \) appartenant à \( ]0~;~+\infty[ \).
Exercice A — Partie 2
On désigne par \( f_1 \) et \( f_2 \) les fonctions définies sur \( ]0~;~+\infty[ \) par :
\[ f_1(x) = x - 1 - \dfrac{\ln(x)}{x^2} \qquad \text{et} \qquad f_2(x) = x - 2 - \dfrac{2\ln(x)}{x^2}. \]
Puis on note \( \mathcal{C}_1 \) et \( \mathcal{C}_2 \) les représentations graphiques respectives de \( f_1 \) et \( f_2 \) dans un repère \( \left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right) \).
1. Montrer que, pour tout nombre réel \( x \) appartenant à \( ]0~;~+\infty[ \), on a :
\[ f_1(x) - f_2(x) = h(x). \]
2. Déduire des résultats de la Partie 1 la position relative des courbes \( \mathcal{C}_1 \) et \( \mathcal{C}_2 \).
Ensuite, on justifiera que leur unique point d'intersection a pour coordonnées \( (\alpha~;~\alpha) \).
En outre, on rappelle que \( \alpha \) est l'unique solution de l'équation \( h(x) = 0 \).
Exercice B
| Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation ; convexité |
Exercice B — Partie 1
On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée \( f' \) d'une fonction \( f \) dérivable sur \( \mathbb{R} \).
À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :
1. Le sens de variation de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
2. La convexité de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
Courbe représentant la dérivée \( f' \) de la fonction \( f \).
Exercice B — Partie 2
On admet que la fonction \( f \) mentionnée dans la Partie 1 est définie sur \( \mathbb{R} \) par :
\[ f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}. \]
Puis on note \( \mathcal{C} \) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormé \( \left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right) \).
En outre, on admet que la fonction \( f \) est deux fois dérivable sur \( \mathbb{R} \), et on note \( f' \) et \( f'' \) les fonctions dérivées première et seconde de \( f \) respectivement.
1. Montrer que, pour tout nombre réel \( x \),
\[ f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + 2\text{e}^{-x}. \]
En déduire la limite de \( f \) en \( +\infty \).
Justifier que la courbe \( \mathcal{C} \) admet une asymptote que l'on précisera.
Par ailleurs, on admet que \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \).
2. a. Montrer que, pour tout nombre réel \( x \), \( f'(x) = (-x - 1)\text{e}^{-x} \).
b. Étudier les variations sur \( \mathbb{R} \) de la fonction \( f \) et dresser son tableau de variations.
c. Montrer que l'équation \( f(x) = 2 \) admet une unique solution \( \alpha \) sur l'intervalle \( [-2~;~-1] \) dont on donnera une valeur approchée à \( 10^{-1} \) près.
Question 3
3. Déterminer, pour tout nombre réel \( x \), l'expression de \( f''(x) \) et étudier la convexité de la fonction \( f \).
Que représente pour la courbe \( \mathcal{C} \) son point A d'abscisse 0 ?
Comment aborder ce sujet de bac 2021, France, jour 2
Le sujet de bac 2021, France, jour 2 du 8 juin 2021 compte quatre exercices, dont deux au choix. D'abord, l'exercice 1 (4 points) traite : géométrie dans l'espace : représentation paramétrique, vecteur directeur, position relative de deux droites, droite parallèle à un plan. Ensuite, l'exercice 2 (6 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance, seuil et logarithme, programme Python. Puis, l'exercice 3 (5 points) porte sur : suite définie par récurrence, raisonnement par récurrence, monotonie, convergence monotone, suite arithmétique auxiliaire, limite. Enfin, au choix, l'exercice A porte sur limites avec ln, dérivée d'un quotient, théorème des valeurs intermédiaires, position de deux courbes, tandis que l'exercice B porte sur lecture graphique de f', dérivées de produits avec l'exponentielle, croissances comparées, convexité, point d'inflexion.
Pour gérer le temps, lisez d'abord l'énoncé en entier, puis commencez par l'exercice qui vous inspire le plus. Ensuite, visez environ 70 minutes pour l'exercice 2, le plus lourd du sujet. Enfin, ne restez jamais bloqué plus de dix minutes sur une question : admettez-la et passez à la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2021, France, jour 2
Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. De plus, en géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Quand vous avez fini, passez à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2021
- France, jour 1
- France, mars, sujet 1
- France, mars, sujet 2
- Amérique du Nord, mai
- Centres étrangers, jour 1
- Centres étrangers, jour 2
- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.
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