Corrigé du bac de maths 2021 : France, septembre, jour 2

Le texte complet de l'épreuve est disponible sur la page de l'énoncé. Pour continuer l'entraînement, voyez les autres annales du bac de maths.

Corrigé de l’exercice 1 (bac 2021, France, septembre, jour 2) 4 points

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale

1. Arbre pondéré de la situation.

Le premier niveau de l'arbre sépare les spams des autres messages, le second indique le classement fait par le logiciel. Ainsi, on sait que \(P(S) = 0{,}08\), donc \(P(\overline{S}) = 1 - 0{,}08 = 0{,}92\). Les probabilités conditionnelles données sont \(P_S(I) = 0{,}9\) et \(P_{\overline{S}}(I) = 0{,}01\) ; on complète chaque paire de branches pour que leur somme fasse 1.

• \(S\) avec probabilité \(0{,}08\)
  • \(I\) avec probabilité \(0{,}9\)
  • \(\overline{I}\) avec probabilité \(0{,}1\)
• \(\overline{S}\) avec probabilité \(0{,}92\)
  • \(I\) avec probabilité \(0{,}01\)
  • \(\overline{I}\) avec probabilité \(0{,}99\)

En conclusion : l'arbre porte \(0{,}08\) et \(0{,}92\) au premier niveau, puis \(0{,}9\) ; \(0{,}1\) sous \(S\) et \(0{,}01\) ; \(0{,}99\) sous \(\overline{S}\).

2. a) Probabilité d'un spam classé indésirable.

L'évènement cherché est \(S \cap I\). La probabilité d'une intersection s'obtient en multipliant les probabilités le long du chemin correspondant dans l'arbre :

\[P(S \cap I) = P(S) \times P_S(I) = 0{,}08 \times 0{,}9 = 0{,}072.\]

En conclusion : \(P(S \cap I) = 0{,}072\).

2. b) Probabilité qu'un message soit classé indésirable.

Les évènements \(S\) et \(\overline{S}\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne \(P(I) = P(S \cap I) + P(\overline{S} \cap I)\). Alors, on calcule le second terme : \(P(\overline{S} \cap I) = 0{,}92 \times 0{,}01 = 0{,}0092\).

\[P(I) = 0{,}072 + 0{,}0092 = 0{,}0812.\]

En conclusion : \(P(I) = 0{,}0812\).

2. c) Probabilité d'un spam sachant que le message est classé indésirable.

Puis on cherche cette fois \(P_I(S)\) : le conditionnement est inversé par rapport aux données de l'énoncé. Par ailleurs, on revient à la définition d'une probabilité conditionnelle :

\[P_I(S) = \dfrac{P(S \cap I)}{P(I)} = \dfrac{0{,}072}{0{,}0812} \approx 0{,}8867.\]

Autrement dit, environ 11 % des messages envoyés dans le dossier des indésirables ne sont pas des spams.

En conclusion : \(P_I(S) \approx 0{,}89\).

Question 3 a

3. a) Loi de \(Z\).

Chaque tirage d'un courriel est une épreuve à deux issues : « spam », de probabilité \(p = 0{,}08\), ou « pas spam ». Le tirage se fait avec remise, donc les 50 épreuves sont identiques et indépendantes : c'est un schéma de Bernoulli. La variable \(Z\) compte les succès de ce schéma.

En conclusion : \(Z\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}08)\).

3. b) Probabilité d'avoir au moins deux spams.

L'évènement « au moins deux » a pour contraire « zéro ou un ». Alors, on calcule donc \(P(Z \geqslant 2) = 1 - P(Z = 0) - P(Z = 1)\) avec la formule de la loi binomiale \(P(Z = k) = \binom{50}{k}\, 0{,}08^k\, 0{,}92^{50-k}\).

\(P(Z = 0) = 0{,}92^{50} \approx 0{,}01547\) et \(P(Z = 1) = 50 \times 0{,}08 \times 0{,}92^{49} \approx 0{,}06725\).

\[P(Z \geqslant 2) \approx 1 - 0{,}01547 - 0{,}06725 \approx 0{,}9173.\]

Par ailleurs, on peut aussi obtenir directement \(P(Z \leqslant 1)\) avec la fonction de répartition binomiale de la calculatrice.

En conclusion : \(P(Z \geqslant 2) \approx 0{,}92\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, France, septembre, jour 2) 5 points

Géométrie dans l'espace : représentation paramétrique, vecteur normal, coplanarité (QCM)

1. Point appartenant à \(\Delta\).

Un point est sur \(\Delta\) si un même paramètre \(t\) donne ses trois coordonnées. Pour N, la première équation \(1 + 2t = -3\) impose \(t = -2\) ; on obtient alors \(y = -2 - 2 = -4\) et \(z = 4 + 2 = 6\) : ce sont bien les coordonnées de N. Pour P, le même \(t = -2\) donnerait \(z = 6 \neq 2\) ; pour M, \(t = 0{,}5\) donnerait \(y = -1{,}5 \neq 1\) ; pour Q, \(t = -3\) donnerait \(y = -5\) mais \(z = 7 \neq 1\).

Réponse B : \(\text{N}(-3\,;\,-4\,;\,6)\) appartient à \(\Delta\) (paramètre \(t = -2\)).

2. Coordonnées de \(\overrightarrow{\text{AB}}\).

Ensuite, on soustrait les coordonnées de l'origine A à celles de l'extrémité B : \(\overrightarrow{\text{AB}}\,(2 - 1\,;\,1 - 0\,;\,0 - 2)\).

Réponse C : \(\overrightarrow{\text{AB}}\,(1\,;\,1\,;\,-2)\).

3. Représentation paramétrique de (AB).

Il faut un système dont le vecteur directeur soit colinéaire à \(\overrightarrow{\text{AB}}\,(1\,;\,1\,;\,-2)\) et qui passe par un point de (AB). Le système A a pour vecteur directeur \((2\,;\,1\,;\,0)\) et le système C a \((1\,;\,1\,;\,2)\) : aucun n'est colinéaire à \(\overrightarrow{\text{AB}}\). Le système D a le bon vecteur directeur, mais son point de paramètre 0, \((1\,;\,1\,;\,2)\), n'est pas sur (AB) : il faudrait \(1 + s = 1\) et \(s = 1\) en même temps. Le système B a pour vecteur directeur \((-1\,;\,-1\,;\,2) = -\overrightarrow{\text{AB}}\), et pour \(t = 0\) il donne \((2\,;\,1\,;\,0)\), c'est-à-dire le point B ; pour \(t = 1\) il donne \((1\,;\,0\,;\,2)\), le point A.

Réponse B.

Question 4

4. Plan passant par C et orthogonal à \(\Delta\).

Un vecteur directeur de \(\Delta\), lu sur les coefficients de \(t\), est \(\vec{d}\,(2\,;\,1\,;\,-1)\). Le plan étant orthogonal à \(\Delta\), ce vecteur en est un vecteur normal, donc le plan a une équation de la forme \(2x + y - z + d = 0\). Par ailleurs, on élimine ainsi les réponses A et D. Donc on trouve \(d\) en écrivant que C est dans le plan : \(2 \times 0 + 1 - 2 + d = 0\), d'où \(d = 1\).

Réponse B : \(2x + y - z + 1 = 0\).

5. Position du point D.

Ensuite, on calcule d'abord les coordonnées de D : \(x_{\text{D}} = 3 \times 1 - 2 - 0 = 1\), \(y_{\text{D}} = 0 - 1 - 1 = -2\), \(z_{\text{D}} = 6 - 0 - 2 = 4\). Donc \(\text{D}(1\,;\,-2\,;\,4)\) et la réponse C est fausse.

Alors, on en déduit \(\overrightarrow{\text{AD}}\,(0\,;\,-2\,;\,2)\), alors que \(\overrightarrow{\text{BC}}\,(-2\,;\,0\,;\,2)\) : la réponse B est fausse. Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\,(1\,;\,1\,;\,-2)\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\,(-1\,;\,1\,;\,0)\) ne sont pas colinéaires, donc A, B, C ne sont pas alignés et la réponse D est fausse.

Enfin \(-\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AC}}\) a pour coordonnées \((-1 + 1\,;\,-1 - 1\,;\,2 - 0) = (0\,;\,-2\,;\,2)\) : c'est exactement \(\overrightarrow{\text{AD}}\). Le vecteur \(\overrightarrow{\text{AD}}\) s'écrit comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\), ce qui signifie que les trois vecteurs sont coplanaires. Par ailleurs, on retrouve ce résultat sans coordonnées en écrivant \(\overrightarrow{\text{OD}} - \overrightarrow{\text{OA}} = (\overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{\text{OB}}) + (\overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{\text{OC}})\).

Réponse A : \(\overrightarrow{\text{AD}} = -\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AC}}\), les trois vecteurs sont coplanaires.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2021, France, septembre, jour 2) 6 points

Fonction exponentielle, théorème des valeurs intermédiaires, dérivée d'une racine carrée, distance minimale, tangente

Partie I

1. Limites de \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).

En \(-\infty\) : quand \(x \to -\infty\), \(-2x \to +\infty\), donc par composition \(\text{e}^{-2x} \to +\infty\) et \(-\text{e}^{-2x} \to -\infty\). Comme \(x \to -\infty\) aussi, la somme tend vers \(-\infty\) (pas de forme indéterminée).

En \(+\infty\) : \(-2x \to -\infty\), donc \(\text{e}^{-2x} \to 0\). Le terme \(x\) tend vers \(+\infty\), d'où \(f(x) \to +\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. Sens de variation et tableau.

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). La dérivée de \(\text{e}^{-2x}\) est \(-2\text{e}^{-2x}\) (dérivée de \(\text{e}^{u}\) égale à \(u'\text{e}^{u}\)), donc :

\[f'(x) = 1 - (-2\text{e}^{-2x}) = 1 + 2\text{e}^{-2x}.\]

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(f'(x) \gt 1 \gt 0\) pour tout réel \(x\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), de \(-\infty\) à \(+\infty\).

3. Unique solution de \(f(x) = 0\).

La fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et elle prend toutes les valeurs de \(]-\infty\,;\,+\infty[\) d'après ses limites. Le nombre 0 appartient à cet intervalle : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation \(f(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha\).

Pour la localiser, on procède par balayage : \(f(0) = -1 \lt 0\) et \(f(1) = 1 - \text{e}^{-2} \approx 0{,}86 \gt 0\), puis \(f(0{,}42) \approx -0{,}0117\) et \(f(0{,}43) \approx 0{,}0068\). Donc \(0{,}42 \lt \alpha \lt 0{,}43\), et plus précisément \(\alpha \approx 0{,}4263\).

En conclusion : l'équation a une unique solution \(\alpha\), avec \(\alpha \approx 0{,}43\) à \(10^{-2}\) près.

Question 4

4. Signe de \(f(x)\).

Comme \(f\) est strictement croissante et s'annule en \(\alpha\) : si \(x \lt \alpha\), alors \(f(x) \lt f(\alpha) = 0\) ; si \(x \gt \alpha\), alors \(f(x) \gt 0\).

En conclusion : \(f(x) \lt 0\) sur \(]-\infty\,;\,\alpha[\), \(f(\alpha) = 0\) et \(f(x) \gt 0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\).

Partie II

1. a) Calcul de \(h'(t)\).

Posons \(u(t) = t^2 + \text{e}^{-2t}\). Cette fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et strictement positive (somme d'un carré et d'une exponentielle), donc \(h = \sqrt{u}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(h' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\). Or \(u'(t) = 2t - 2\text{e}^{-2t} = 2\left(t - \text{e}^{-2t}\right) = 2f(t)\). Ainsi :

\[h'(t) = \dfrac{2f(t)}{2\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}} = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}.\]

En conclusion : pour tout réel \(t\), \(h'(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}\).

1. b) Point de \(\mathcal{C}\) le plus proche de O.

Le dénominateur de \(h'(t)\) est une racine carrée strictement positive, donc \(h'(t)\) a le signe de \(f(t)\), étudié à la question 4 de la partie I. Par conséquent \(h\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,\alpha]\) et strictement croissante sur \([\alpha\,;\,+\infty[\) : elle atteint son minimum en \(t = \alpha\), et seulement en ce point.

La distance \(\text{O}M\) est donc la plus petite lorsque \(M\) a pour abscisse \(\alpha\), c'est-à-dire lorsque \(M\) est le point \(\text{A}\left(\alpha\,;\,\text{e}^{-\alpha}\right)\), avec \(\text{e}^{-\alpha} \approx 0{,}65\).

Construction sur l'annexe : \(\alpha\) est l'abscisse du point où \(\Gamma\) coupe l'axe des abscisses (vers 0,43). Ensuite, on trace la verticale passant par ce point ; elle rencontre \(\mathcal{C}\) en A, d'ordonnée environ 0,65.

En conclusion : \(h\) est minimale en \(\alpha\), donc A\(\left(\alpha\,;\,\text{e}^{-\alpha}\right) \approx (0{,}43\,;\,0{,}65)\) est le point de \(\mathcal{C}\) le plus proche de O.

Question 2 a

2. a) Coefficient directeur de \(T\).

Le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(\alpha\) est le nombre dérivé \(g'(\alpha)\). Comme \(g'(x) = -\text{e}^{-x}\), on obtient :

En conclusion : le coefficient directeur de \(T\) est \(g'(\alpha) = -\text{e}^{-\alpha}\).

2. b) Perpendicularité de (OA) et \(T\).

D'après le rappel, il suffit de montrer que le produit des deux coefficients directeurs vaut \(-1\). Ce produit est :

\[\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha} \times \left(-\text{e}^{-\alpha}\right) = -\dfrac{\text{e}^{-2\alpha}}{\alpha}.\]

La clé est la définition de \(\alpha\) : \(f(\alpha) = 0\) s'écrit \(\alpha - \text{e}^{-2\alpha} = 0\), soit \(\text{e}^{-2\alpha} = \alpha\) (et \(\alpha \neq 0\) puisque \(\alpha \gt 0{,}42\)). En remplaçant, le produit vaut \(-\dfrac{\alpha}{\alpha} = -1\).

Sur l'annexe, on trace le segment [OA] prolongé en droite (OA), de pente environ \(0{,}65 / 0{,}43 \approx 1{,}53\), et la tangente \(T\) passant par A, de pente environ \(-0{,}65\) : elle coupe l'axe des ordonnées vers \(0{,}93\) et l'axe des abscisses vers \(1{,}43\). Les deux droites forment un angle droit en A. La figure ci-dessous montre l'annexe complétée.

En conclusion : le produit des coefficients directeurs vaut \(-1\), donc (OA) et \(T\) sont perpendiculaires.

Corrigé de l’exercice A (bac 2021, France, septembre, jour 2) 5 points

Suites couplées, suite géométrique auxiliaire, récurrence, théorème de convergence monotone, suite constante

1. Calcul de \(u_1\) et \(v_1\).

Alors, on applique les relations de récurrence avec \(n = 0\) : \(u_1 = \dfrac{3 \times 16 + 2 \times 5}{5} = \dfrac{58}{5} = 11{,}6\) et \(v_1 = \dfrac{16 + 5}{2} = \dfrac{21}{2} = 10{,}5\).

En conclusion : \(u_1 = 11{,}6\) et \(v_1 = 10{,}5\).

2. a) \((w_n)\) est géométrique de raison \(0{,}1\) ; expression de \(w_n\).

Pour tout entier naturel \(n\), on exprime \(w_{n+1}\) en réduisant au dénominateur commun 10 :

\[w_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} - \dfrac{u_n + v_n}{2} = \dfrac{6u_n + 4v_n - 5u_n - 5v_n}{10} = \dfrac{u_n - v_n}{10} = 0{,}1\, w_n.\]

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par \(0{,}1\) : la suite est géométrique de raison \(0{,}1\), de premier terme \(w_0 = 16 - 5 = 11\). Puis on vérifie avec la question 1 : \(w_1 = 11{,}6 - 10{,}5 = 1{,}1\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(w_n = 11 \times 0{,}1^n\).

2. b) Signe et limite de \((w_n)\).

\(11 \gt 0\) et \(0{,}1^n \gt 0\), donc \(w_n \gt 0\) pour tout \(n\). De plus, \(0{,}1\) est strictement compris entre \(-1\) et 1, donc \(0{,}1^n\) tend vers 0, et \(w_n\) aussi.

En conclusion : \(w_n \gt 0\) pour tout \(n\), et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = 0\).

Question 3 a

3. a) Montrer que \(u_{n+1} - u_n = -0{,}4\, w_n\).

Par ailleurs, on écrit \(u_n\) avec le dénominateur 5 :

\[u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n + 2v_n - 5u_n}{5} = \dfrac{-2u_n + 2v_n}{5} = -\dfrac{2}{5}\left(u_n - v_n\right) = -0{,}4\, w_n.\]

En conclusion : pour tout \(n\), \(u_{n+1} - u_n = -0{,}4\, w_n\).

3. b) Monotonie de \((u_n)\).

D'après 2. b), \(w_n \gt 0\), donc \(-0{,}4\, w_n \lt 0\), c'est-à-dire \(u_{n+1} - u_n \lt 0\) pour tout \(n\).

En conclusion : la suite \((u_n)\) est (strictement) décroissante.

3. c) Récurrence \(u_n \geqslant 5\) et convergence de \((u_n)\).

Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n \geqslant 5\) ».

Initialisation : \(u_0 = 16 \geqslant 5\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n \geqslant 5\). Alors, on sait aussi (résultat admis) que \(v_n \geqslant 5\). Alors \(3u_n \geqslant 15\) et \(2v_n \geqslant 10\), donc \(3u_n + 2v_n \geqslant 25\) et, en divisant par 5 qui est positif, \(u_{n+1} \geqslant 5\). La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion : par récurrence, \(u_n \geqslant 5\) pour tout entier naturel \(n\).

La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 5 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\), qui vérifie \(\ell \geqslant 5\).

En conclusion : pour tout \(n\), \(u_n \geqslant 5\) ; la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\).

Question 4 a

4. a) Montrer que \(\ell = \ell'\).

Comme \(w_n = u_n - v_n\) et que les deux suites convergent, la limite d'une différence donne \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = \ell - \ell'\). Or cette limite vaut 0 d'après 2. b). Donc \(\ell - \ell' = 0\).

En conclusion : \(\ell = \ell'\).

4. b) La suite \((c_n)\) est constante égale à 100.

Pour tout \(n\) :

\[c_{n+1} = 5 \times \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} + 4 \times \dfrac{u_n + v_n}{2} = (3u_n + 2v_n) + (2u_n + 2v_n) = 5u_n + 4v_n = c_n.\]

La suite est donc constante, et tous ses termes sont égaux au premier : \(c_0 = 5 \times 16 + 4 \times 5 = 80 + 20 = 100\). Vérification : \(c_1 = 5 \times 11{,}6 + 4 \times 10{,}5 = 58 + 42 = 100\).

En conclusion : pour tout \(n\), \(c_n = 100\).

4. c) Valeur commune des limites.

La suite constante \((c_n)\) tend vers 100. Par opérations sur les limites, elle tend aussi vers \(5\ell + 4\ell' = 5\ell + 4\ell = 9\ell\). Par unicité de la limite, \(9\ell = 100\).

En conclusion : \(\ell = \ell' = \dfrac{100}{9} \approx 11{,}11\).

Corrigé de l’exercice B (bac 2021, France, septembre, jour 2) 5 points

Fonction logarithme népérien, limites, dérivation, théorème des valeurs intermédiaires, équation du second degré en \(\ln x\)

Partie I

1. Solution de \(f(x) = 0\).

Sur \(]0\,;\,+\infty[\), le dénominateur \(x\) n'est jamais nul, donc un quotient est nul si et seulement si son numérateur l'est : \(2\ln(x) - 1 = 0 \iff \ln(x) = \dfrac{1}{2} \iff x = \text{e}^{1/2} = \sqrt{\text{e}}\).

En conclusion : \(\alpha = \text{e}^{1/2} = \sqrt{\text{e}} \approx 1{,}65\).

2. Signe de \(f(x)\) par lecture graphique.

La courbe est en dessous de l'axe des abscisses à gauche du point où elle le coupe, et au-dessus à droite de ce point.

En conclusion : \(f(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(f(\alpha) = 0\) et \(f(x) \gt 0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\).

Partie II

1. a) Limite de \(g\) en 0.

La somme \([\ln x]^2 - \ln x\) donne une forme « \(+\infty - (-\infty)\) » qui n'est pas indéterminée : quand \(x \to 0^+\), \(\ln x \to -\infty\), donc \([\ln x]^2 \to +\infty\) et \(-\ln x \to +\infty\). Par ailleurs, on peut aussi factoriser : \(g(x) = \ln(x)\left(\ln(x) - 1\right)\), produit de deux facteurs qui tendent vers \(-\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty\).

1. b) Limite de \(g\) en \(+\infty\).

Ici la somme est indéterminée (« \(+\infty - \infty\) »), on utilise donc la forme factorisée \(g(x) = \ln(x)\left(\ln(x) - 1\right)\). Quand \(x \to +\infty\), \(\ln x \to +\infty\) et \(\ln x - 1 \to +\infty\) : le produit tend vers \(+\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).

2. Montrer que \(g' = f\).

La dérivée de \(u^2\) est \(2u'u\) ; avec \(u = \ln\), on obtient \(\left([\ln x]^2\right)' = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x\). Donc pour tout \(x \gt 0\) :

\[g'(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln(x) - 1}{x} = f(x).\]

En conclusion : pour tout \(x \in \,]0\,;\,+\infty[\), \(g'(x) = f(x)\).

3. Tableau de variations de \(g\).

Le signe de \(g'\) est celui de \(f\), trouvé en partie I : négatif avant \(\sqrt{\text{e}}\), positif après. La fonction \(g\) est donc décroissante sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\) et croissante sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\). Son minimum est \(g(\sqrt{\text{e}})\) ; comme \(\ln\sqrt{\text{e}} = \dfrac{1}{2}\), on a \(g(\sqrt{\text{e}}) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}\).

En conclusion : \(g\) décroît de \(+\infty\) à \(-0{,}25\) sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\), puis croît de \(-0{,}25\) à \(+\infty\) ; son minimum est \(-0{,}25\), atteint en \(\sqrt{\text{e}}\).

Question 4

4. L'équation \(g(x) = m\) a exactement deux solutions si \(m \gt -0{,}25\).

Ensuite, on raisonne séparément sur chacun des deux intervalles de monotonie.

Sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\), \(g\) est continue (dérivable) et strictement décroissante ; elle prend toutes les valeurs de \([-0{,}25\,;\,+\infty[\). Comme \(m\) appartient à \(]-0{,}25\,;\,+\infty[\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que \(g(x) = m\) possède une unique solution dans cet intervalle, et elle est différente de \(\sqrt{\text{e}}\) puisque \(m \neq -0{,}25\).

Sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\), \(g\) est continue et strictement croissante de \(-0{,}25\) à \(+\infty\) : pour la même raison, l'équation y a exactement une solution, strictement supérieure à \(\sqrt{\text{e}}\).

En conclusion : pour tout \(m \gt -0{,}25\), l'équation \(g(x) = m\) admet exactement deux solutions, une de chaque côté de \(\sqrt{\text{e}}\).

5. Résolution de \(g(x) = 0\).

Alors, on factorise : \(g(x) = \ln(x)\left(\ln(x) - 1\right)\). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : \(\ln(x) = 0\), c'est-à-dire \(x = 1\), ou \(\ln(x) = 1\), c'est-à-dire \(x = \text{e}\). Ces deux valeurs sont bien dans \(]0\,;\,+\infty[\), et on retrouve une solution de chaque côté de \(\sqrt{\text{e}} \approx 1{,}65\), comme l'annonçait la question 4 avec \(m = 0\).

En conclusion : les solutions de \(g(x) = 0\) sont \(x = 1\) et \(x = \text{e}\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Quand l'énoncé donne \(P_S(I)\) et demande \(P_I(S)\), on passe toujours par \(P(S \cap I)\) et la formule des probabilités totales avant de diviser.
• « Au moins deux » se traite par l'évènement contraire : \(P(Z \geqslant 2) = 1 - P(Z = 0) - P(Z = 1)\), sans oublier le coefficient 50 dans \(P(Z = 1)\).
• Dans un QCM d'espace, tester un point sur une droite paramétrée se fait avec un seul paramètre pour les trois coordonnées ; une droite a une infinité de représentations paramétriques.
• Minimiser une distance \(\sqrt{u(t)}\) revient à étudier le signe de \(u'(t)\) ; la relation \(f(\alpha) = 0\), ici \(\text{e}^{-2\alpha} = \alpha\), sert ensuite à simplifier les calculs où \(\alpha\) n'a pas de valeur exacte.
• Pour des suites couplées, la différence \(u_n - v_n\) (géométrique) et la combinaison \(5u_n + 4v_n\) (constante) donnent la limite commune sans calculer \(u_n\).
• Une expression en \([\ln x]^2\) et \(\ln x\) se factorise ou se traite comme un polynôme en \(X = \ln x\) : c'est ce qui lève la forme indéterminée et résout \(g(x) = 0\).

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Ce que contient le corrigé du bac 2021, France, septembre, jour 2

Le corrigé du bac 2021, France, septembre, jour 2 du 13 septembre 2021 explique les cinq exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (4 points) porte sur : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : représentation paramétrique, vecteur normal, coplanarité (QCM). Puis, la correction de l'exercice 3 (6 points) traite : fonction exponentielle, théorème des valeurs intermédiaires, dérivée d'une racine carrée, distance minimale, tangente. Puis, la correction de l'exercice A (5 points) aborde : suites couplées, suite géométrique auxiliaire, récurrence, théorème de convergence monotone, suite constante. Enfin, la correction de l'exercice B (5 points) traite : fonction logarithme népérien, limites, dérivation, théorème des valeurs intermédiaires, équation du second degré en.

Lisez chaque solution en vous demandant pourquoi telle méthode s'impose. En effet, c'est ce raisonnement qui resservira sur un autre sujet. Par ailleurs, refaites seul les calculs les plus longs sans regarder la rédaction.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2021, France, septembre, jour 2

Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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• Corrigé France, mars, sujet 1
• Corrigé France, jour 2
• Corrigé France, mars, sujet 2
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• Corrigé Centres étrangers, jour 1
• Corrigé Centres étrangers, jour 2
• Corrigé France, septembre, jour 1

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