Corrigé du bac de maths 2024 : France, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2024, France, jour 2) 5 points

Probabilités conditionnelles, arbre pondéré, loi binomiale, espérance et variance d'une somme, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie A

1. a. Compléter l'arbre pondéré.

L'énoncé donne directement \(P(R) = 0{,}6\), donc \(P(\overline{R}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). Le taux de 47 % concerne les clients réguliers : c'est une probabilité conditionnelle, \(P_R(F) = 0{,}47\), d'où \(P_R(\overline{F}) = 0{,}53\). Les deux branches issues de \(\overline{R}\) ne sont pas demandées (elles seront calculées en 1. c.).

• \(R\) avec la probabilité \(0{,}6\) :
  • \(F\) avec la probabilité \(0{,}47\) ;
  • \(\overline{F}\) avec la probabilité \(0{,}53\).
• \(\overline{R}\) avec la probabilité \(0{,}4\) :
  • \(F\) avec la probabilité \(0{,}245\) (voir 1. c.) ;
  • \(\overline{F}\) avec la probabilité \(0{,}755\).

Pointillés : \(P(R) = 0{,}6\), \(P(\overline{R}) = 0{,}4\), \(P_R(F) = 0{,}47\), \(P_R(\overline{F}) = 0{,}53\).

1. b. Probabilité que le client soit régulier et possède la carte.

Ensuite, on cherche \(P(R \cap F)\) : on multiplie les probabilités le long du chemin \(R \to F\) de l'arbre.

\[P(R \cap F) = P(R) \times P_R(F) = 0{,}6 \times 0{,}47 = 0{,}282.\]

En conclusion : \(P(R \cap F) = 0{,}282\).

1. c. Calculer \(P_{\overline{R}}(F)\).

Par ailleurs, on connaît \(P(F) = 0{,}38\). Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales \(P(F) = P(R \cap F) + P(\overline{R} \cap F)\). Donc on en tire :

\[P(\overline{R} \cap F) = 0{,}38 - 0{,}282 = 0{,}098.\]

Par définition d'une probabilité conditionnelle :

\[P_{\overline{R}}(F) = \dfrac{P(\overline{R} \cap F)}{P(\overline{R})} = \dfrac{0{,}098}{0{,}4} = 0{,}245.\]

En conclusion : \(P_{\overline{R}}(F) = 0{,}245\), soit 24,5 % des clients non réguliers ont la carte.

1. d. Plus de 80 % des détenteurs de la carte sont-ils réguliers ?

Le directeur parle de la proportion de clients réguliers parmi ceux qui ont la carte : c'est la probabilité conditionnelle \(P_F(R)\), le conditionnement « inverse » de celui de l'arbre.

\[P_F(R) = \dfrac{P(R \cap F)}{P(F)} = \dfrac{0{,}282}{0{,}38} \approx 0{,}742.\]

Environ 74,2 % seulement des détenteurs de la carte sont des clients réguliers, ce qui est inférieur à 80 %.

En conclusion : \(P_F(R) \approx 0{,}742 \lt 0{,}8\), l'affirmation du directeur est fausse.

Question 2 a

2. a. Loi de \(X\).

Par ailleurs, on répète 20 fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), la même épreuve de Bernoulli : interroger un client, avec pour « succès » l'évènement \(F\) « il a acheté la carte », de probabilité \(p = 0{,}38\). La variable \(X\) compte le nombre de succès parmi ces 20 répétitions.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = 0{,}38\).

2. b. Probabilité qu'au moins 5 clients aient la carte.

Ensuite, on passe par l'évènement contraire, « au plus 4 clients ont la carte », dont la probabilité s'obtient avec la fonction de répartition binomiale de la calculatrice :

\[P(X \geqslant 5) = 1 - P(X \leqslant 4) \approx 1 - 0{,}0726 \approx 0{,}927.\]

En conclusion : \(P(X \geqslant 5) \approx 0{,}927\) à \(10^{-3}\) près.

Partie B

1. Calculer et interpréter \(E(X_2)\).

Pour une variable de loi binomiale \(\mathcal{B}(n~;~p)\), l'espérance vaut \(np\). Ici :

\[E(X_2) = 1\,000 \times 0{,}47 = 470.\]

Si l'on répétait un grand nombre de fois le choix d'un échantillon de 1 000 clients réguliers, on trouverait en moyenne 470 détenteurs de la carte de fidélité par échantillon.

En conclusion : \(E(X_2) = 470\) : en moyenne, 470 clients sur 1 000 ont la carte.

2. Signification de \(Z\), puis \(E(Z)\) et \(V(Z)\).

\(Y\) est la somme totale offerte aux 1 000 clients ; en la divisant par 1 000, on obtient la somme offerte par client : \(Z\) modélise le montant moyen, en euros, reçu par un client de l'échantillon (bon d'achat et prime compris).

Espérance. Par linéarité de l'espérance, \(E(Y_2) = 50\,E(X_2) = 50 \times 470 = 23\,500\), puis :

\[E(Y) = E(Y_1) + E(Y_2) = 30\,000 + 23\,500 = 53\,500 \quad \text{et} \quad E(Z) = \dfrac{E(Y)}{1\,000} = 53{,}5.\]

Variance. Pour la loi binomiale, \(V(X_2) = np(1-p) = 1\,000 \times 0{,}47 \times 0{,}53 = 249{,}1\). Comme \(V(aX) = a^2V(X)\) :

\[V(Y_2) = 50^2 \times 249{,}1 = 2\,500 \times 249{,}1 = 622\,750.\]

Les variables \(Y_1\) et \(Y_2\) étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme des variances :

\[V(Y) = 100\,000 + 622\,750 = 722\,750 \quad \text{puis} \quad V(Z) = \dfrac{V(Y)}{1\,000^2} = \dfrac{722\,750}{1\,000\,000} = 0{,}722\,75.\]

En conclusion : \(Z\) est le montant moyen offert par client ; \(E(Z) = 53{,}5\) et \(V(Z) = 0{,}722\,75\).

Question 3

3. Montrer que \(P(51{,}7 \lt Z \lt 55{,}3) \gt 0{,}75\).

L'intervalle \(]51{,}7~;~55{,}3[\) est centré en \(E(Z) = 53{,}5\) avec un demi-écart de \(1{,}8\) :

\[51{,}7 \lt Z \lt 55{,}3 \iff |Z - 53{,}5| \lt 1{,}8.\]

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que, pour tout réel \(\delta \gt 0\), \(P\left(|Z - E(Z)| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}\). Avec \(\delta = 1{,}8\) :

\[P\left(|Z - 53{,}5| \geqslant 1{,}8\right) \leqslant \dfrac{0{,}722\,75}{3{,}24} \approx 0{,}223.\]

En passant à l'évènement contraire :

\[P\left(|Z - 53{,}5| \lt 1{,}8\right) \geqslant 1 - \dfrac{0{,}722\,75}{3{,}24} \approx 0{,}777.\]

En conclusion : \(P(51{,}7 \lt Z \lt 55{,}3) \geqslant 0{,}777\), donc cette probabilité est bien supérieure à \(0{,}75\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2024, France, jour 2) 4 points

Géométrie dans l'espace : vecteur normal, représentation paramétrique, équation cartésienne de plan, position relative de deux droites

Affirmation 1 \(\overrightarrow{n}(2~;~2~;~-1)\) est normal au plan (ABC).

Un vecteur est normal à un plan dès qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Puis on calcule \(\overrightarrow{\text{AB}}(6~;~-3~;~6)\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}(6~;~-6~;~0)\) ; ils ne sont pas colinéaires puisque A, B, C ne sont pas alignés.

\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 2 \times 6 + 2 \times (-3) + (-1) \times 6 = 12 - 6 - 6 = 0,\]

\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 2 \times 6 + 2 \times (-6) + (-1) \times 0 = 12 - 12 + 0 = 0.\]

En conclusion : \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et à \(\overrightarrow{\text{AC}}\) : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 Représentation paramétrique proposée pour (AB).

Il faut vérifier deux choses : le vecteur directeur de la représentation dirige (AB), et un point de la représentation appartient à (AB).

Le vecteur directeur lu dans le système est \(\overrightarrow{u}(2~;~-1~;~2)\). Or \(\overrightarrow{\text{AB}}(6~;~-3~;~6) = 3\,\overrightarrow{u}\) : les deux vecteurs sont colinéaires.

Pour \(t = 0\), le système donne le point K\((2~;~3~;~1)\). Ainsi, on a \(\overrightarrow{\text{AK}}(2~;~-1~;~2) = \overrightarrow{u}\), colinéaire à \(\overrightarrow{\text{AB}}\), donc K appartient à (AB). (Autre contrôle : pour \(t = -1\), on retrouve exactement A\((0~;~4~;~-1)\).)

En conclusion : la droite décrite passe par un point de (AB) et a la même direction : l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 Plan passant par C et orthogonal à (AB).

Un plan orthogonal à (AB) admet \(\overrightarrow{\text{AB}}\), ou tout vecteur colinéaire comme \(\overrightarrow{u}(2~;~-1~;~2)\), pour vecteur normal. Le plan proposé \(2x + 2y - z - 9 = 0\) a pour vecteur normal \((2~;~2~;~-1)\), qui n'est pas colinéaire à \(\overrightarrow{u}\) (les premières coordonnées sont égales mais pas les deuxièmes). Ce plan n'est donc pas orthogonal à (AB).

Pour information, le bon plan a une équation de la forme \(2x - y + 2z + d = 0\) ; en y plaçant C\((6~;~-2~;~-1)\) : \(12 + 2 - 2 + d = 0\), soit \(d = -12\), d'où \(\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 12 = 0\).

En conclusion : l'affirmation 3 est fausse ; une équation de \(\mathcal{P}\) est \(2x - y + 2z - 12 = 0\).

Affirmation 4 \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) ne sont pas coplanaires.

Deux droites sont coplanaires si elles sont parallèles ou sécantes. Les vecteurs directeurs \(\overrightarrow{d}(1~;~1~;~1)\) et \(\overrightarrow{d'}(2~;~-1~;~2)\) ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Cherchons un point commun en résolvant :

\[\left\{\begin{array}{l} 3 + t = 2t' \\ 1 + t = 4 - t' \\ 2 + t = -1 + 2t' \end{array}\right.\]

La deuxième équation donne \(t = 3 - t'\). En reportant dans la première : \(6 - t' = 2t'\), donc \(t' = 2\) puis \(t = 1\). Par ailleurs, on contrôle la troisième équation : \(2 + 1 = 3\) et \(-1 + 2 \times 2 = 3\), elle est vérifiée.

Le paramètre \(t = 1\) dans \(\mathcal{D}\) et \(t' = 2\) dans \(\mathcal{D}'\) donnent le même point \((4~;~2~;~3)\) : les droites sont sécantes, donc contenues dans un même plan.

En conclusion : \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) sont sécantes en \((4~;~2~;~3)\), elles sont coplanaires : l'affirmation 4 est fausse.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2024, France, jour 2) 5 points

Suite récurrente, raisonnement par récurrence, monotonie et convergence, algorithme Python, suite géométrique et logarithme

Partie A : cas \(1 \lt a \lt 2\)

1. a. Montrer que \(u_{n+1} - 2 = u_n(u_n - 2)\).

Ensuite, on part de la relation de récurrence et on retranche 2 :

\[u_{n+1} - 2 = u_n^2 - 2u_n + 2 - 2 = u_n^2 - 2u_n = u_n(u_n - 2).\]

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} - 2 = u_n(u_n - 2)\).

1. b. Montrer que \(u_{n+1} - u_n = (u_n - 1)(u_n - 2)\).

D'un côté, \(u_{n+1} - u_n = u_n^2 - 2u_n + 2 - u_n = u_n^2 - 3u_n + 2\). De l'autre, en développant : \((u_n - 1)(u_n - 2) = u_n^2 - 2u_n - u_n + 2 = u_n^2 - 3u_n + 2\). Les deux expressions coïncident.

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} - u_n = (u_n - 1)(u_n - 2)\).

2. a. Démontrer par récurrence que \(u_n \lt 2\).

Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n \lt 2\) ».

Initialisation. \(u_0 = a\) et, dans cette partie, \(a \lt 2\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n \lt 2\). Ainsi, on sait aussi (résultat admis) que \(u_n \gt 1\), donc \(u_n \gt 0\). D'après 1. a., \(u_{n+1} - 2 = u_n(u_n - 2)\) est le produit d'un nombre strictement positif \(u_n\) par un nombre strictement négatif \(u_n - 2\) : il est strictement négatif. Ainsi \(u_{n+1} \lt 2\) et \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \lt 2\).

Question 2 b

2. b. Convergence et limite de \((u_n)\).

Sens de variation. D'après 1. b., \(u_{n+1} - u_n = (u_n - 1)(u_n - 2)\). Or \(u_n - 1 \gt 0\) (car \(u_n \gt 1\)) et \(u_n - 2 \lt 0\) (question 2. a.) : le produit est strictement négatif. La suite \((u_n)\) est donc strictement décroissante.

Convergence. La suite est décroissante et minorée par 1 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\).

Valeur de la limite. La fonction \(g : x \mapsto x^2 - 2x + 2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et \(u_{n+1} = g(u_n)\) ; en passant à la limite, \(\ell = g(\ell)\), soit \(\ell^2 - 3\ell + 2 = 0\), c'est-à-dire \((\ell - 1)(\ell - 2) = 0\). Donc \(\ell = 1\) ou \(\ell = 2\). Mais la suite décroît strictement à partir de \(u_0 = a \lt 2\), donc tous ses termes, et sa limite, sont inférieurs ou égaux à \(a\) : \(\ell \leqslant a \lt 2\). Ensuite, on écarte 2.

En conclusion : la suite \((u_n)\) converge et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\).

Partie B : cas \(a = 2\)

1. Valeurs renvoyées par u(2,1) et u(2,2).

La fonction part de u = a puis applique n fois la transformation \(u \mapsto u^2 - 2u + 2\) : elle renvoie donc le terme \(u_n\) de la suite de premier terme \(a\).

Pour u(2,1) : une seule itération, \(2^2 - 2 \times 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2\). Pour u(2,2) : on repart de 2 et le même calcul redonne 2.

En conclusion : u(2,1) renvoie 2 et u(2,2) renvoie 2.

2. Conjecture pour \(a = 2\).

Le nombre 2 est un point fixe de la transformation : \(2^2 - 2 \times 2 + 2 = 2\). Chaque itération recopie donc la valeur précédente.

En conclusion : on conjecture que la suite est constante : \(u_n = 2\) pour tout entier naturel \(n\).

Partie C : cas général

1. a. \((v_n)\) est géométrique de raison 2 ; premier terme.

La suite \((v_n)\) est bien définie car \(u_n - 1 \gt 0\). Par ailleurs, on remarque que \(u_{n+1} - 1 = u_n^2 - 2u_n + 1 = (u_n - 1)^2\). Avec la propriété \(\ln(X^2) = 2\ln X\) pour \(X \gt 0\) :

\[v_{n+1} = \ln\left(u_{n+1} - 1\right) = \ln\left((u_n - 1)^2\right) = 2\ln(u_n - 1) = 2v_n.\]

Le premier terme vaut \(v_0 = \ln(u_0 - 1) = \ln(a - 1)\).

En conclusion : \((v_n)\) est géométrique de raison 2 et de premier terme \(v_0 = \ln(a - 1)\).

1. b. En déduire l'expression de \(u_n\).

Le terme général d'une suite géométrique donne \(v_n = v_0 \times 2^n = 2^n \ln(a - 1)\). Comme \(v_n = \ln(u_n - 1)\), on revient à \(u_n\) par la fonction exponentielle : \(u_n - 1 = \text{e}^{v_n}\).

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 1 + \text{e}^{2^n \times \ln(a-1)}\).

2. Limite de \((u_n)\) selon \(a\).

Comme \(2 \gt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^n = +\infty\). Tout dépend donc du signe de \(\ln(a - 1)\), c'est-à-dire de la position de \(a - 1\) par rapport à 1.

• Si \(1 \lt a \lt 2\) : \(0 \lt a - 1 \lt 1\), donc \(\ln(a - 1) \lt 0\) et \(2^n \ln(a - 1) \to -\infty\). Comme \(\displaystyle\lim_{X \to -\infty}\text{e}^X = 0\), \(u_n \to 1\) (on retrouve la partie A).
• Si \(a = 2\) : \(\ln(a - 1) = \ln 1 = 0\), donc \(u_n = 1 + \text{e}^0 = 2\) pour tout \(n\) : la suite est constante, ce qui démontre la conjecture de la partie B, et sa limite est 2.
• Si \(a \gt 2\) : \(a - 1 \gt 1\), donc \(\ln(a - 1) \gt 0\) et \(2^n \ln(a - 1) \to +\infty\) ; par composition avec l'exponentielle, \(u_n \to +\infty\).

En conclusion : la limite de \((u_n)\) vaut 1 si \(1 \lt a \lt 2\), 2 si \(a = 2\), et \(+\infty\) si \(a \gt 2\).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2024, France, jour 2) 6 points

Lecture graphique, nombre dérivé, convexité, primitive, fonction exponentielle, tableau de variations, point d'inflexion, intégration par parties

Partie A : étude graphique

1. a. Donner \(f(0)\).

Le point N(0 ; 2) appartient à \(\mathcal{C}_f\), donc l'image de 0 est son ordonnée.

En conclusion : \(f(0) = 2\).

1. b. Déterminer \(f'(0)\).

\(f'(0)\) est le coefficient directeur de la tangente \(T\) en N. Cette droite passe par N(0 ; 2) et P(2 ; 0) :

\[f'(0) = \dfrac{y_{\text{P}} - y_{\text{N}}}{x_{\text{P}} - x_{\text{N}}} = \dfrac{0 - 2}{2 - 0} = -1.\]

En conclusion : \(f'(0) = -1\).

2. Résoudre \(f(x) = 0\).

Graphiquement, la courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'en M(−2 ; 0). Les indications de l'énoncé le confirment : \(f\) est strictement positive sur \([0~;~+\infty[\) ; sur \(]-\infty~;~-1]\) elle est strictement croissante, donc s'annule au plus une fois, en \(-2\) ; et sur \([-1~;~0]\) la courbe reste nettement au-dessus de l'axe.

En conclusion : l'ensemble des solutions est \(\{-2\}\).

3. \(f\) est-elle convexe sur \(\mathbb{R}\) ?

Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de toutes ses tangentes, et ses cordes au-dessus de la courbe. Or la corde [MN] joint M(−2 ; 0) à N(0 ; 2) : au point d'abscisse \(-1\), elle a pour ordonnée 1, alors que la courbe est vers 2,7. Sur \([-2~;~0]\), la courbe passe au-dessus de sa corde : elle est concave (en forme de « bosse ») autour de son maximum en \(-1\).

La fonction semble en revanche convexe sur \([0~;~+\infty[\), où la courbe reste au-dessus de sa tangente \(T\).

En conclusion : non, \(f\) n'est pas convexe sur \(\mathbb{R}\) (elle est concave au voisinage de \(-1\)).

Question 4

4. Quelle courbe peut représenter une primitive de \(f\) ?

Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F' = f\) : les variations de \(F\) suivent le signe de \(f\). D'après la question 2 et le graphique, \(f(x) \lt 0\) sur \(]-\infty~;~-2[\) et \(f(x) \gt 0\) sur \(]-2~;~+\infty[\). Donc \(F\) est décroissante sur \(]-\infty~;~-2]\), croissante sur \([-2~;~+\infty[\), et admet un minimum en \(-2\).

• La courbe 1 a son minimum vers \(x = 0\) et décroît sur \([-1~;~0]\), où \(f\) est positive : elle est exclue.
• La courbe 3 décroît nettement sur \([-1~;~1]\), alors que \(f\) y est strictement positive : elle est exclue.
• La courbe 2 décroît puis croît, avec un minimum en \(x = -2\) : elle convient.

En conclusion : seule la courbe 2 peut représenter une primitive de \(f\).

Partie B : recherche d’une expression algébrique

1. Justifier que \(b = 2\).

En remplaçant \(x\) par 0 : \(f(0) = (a \times 0 + b)\text{e}^{0} = b\). Or \(f(0) = 2\) (partie A, 1. a.).

En conclusion : \(b = 2\).

2. Justifier que \(-2a + b = 0\), puis trouver \(a\).

M(−2 ; 0) est sur la courbe, donc \(f(-2) = 0\), soit \((-2a + b)\text{e}^{-2\lambda} = 0\). Une exponentielle n'est jamais nulle, donc le facteur \(-2a + b\) est nul. Avec \(b = 2\) : \(-2a + 2 = 0\).

En conclusion : \(-2a + b = 0\) et \(a = 1\).

3. Expression de \(f\).

Ainsi, on sait à présent que \(f(x) = (x + 2)\text{e}^{\lambda x}\). Il reste à trouver \(\lambda\) grâce à \(f'(0) = -1\). Alors, on dérive le produit \(u \times v\) avec \(u(x) = x + 2\) et \(v(x) = \text{e}^{\lambda x}\), donc \(u'(x) = 1\) et \(v'(x) = \lambda\text{e}^{\lambda x}\) :

\[f'(x) = \text{e}^{\lambda x} + \lambda(x + 2)\text{e}^{\lambda x} = (1 + \lambda x + 2\lambda)\text{e}^{\lambda x}.\]

En 0 : \(f'(0) = 1 + 2\lambda\). L'égalité \(1 + 2\lambda = -1\) donne \(\lambda = -1\).

En conclusion : \(f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}\).

Partie C : étude algébrique

1. Limite de \(f\) en \(-\infty\).

Quand \(x \to -\infty\), \(x + 2 \to -\infty\) et \(-x \to +\infty\), donc \(\text{e}^{-x} \to +\infty\). Le produit d'une quantité tendant vers \(-\infty\) par une quantité tendant vers \(+\infty\) tend vers \(-\infty\) : il n'y a pas de forme indéterminée.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

2. Tableau de variations complet de \(f\).

Signe de la dérivée. \(f'(x) = (-x - 1)\text{e}^{-x}\) et \(\text{e}^{-x} \gt 0\) pour tout réel \(x\) : \(f'(x)\) a le signe de \(-x - 1\), positif pour \(x \lt -1\), nul en \(-1\), négatif pour \(x \gt -1\).

Valeur du maximum. \(f(-1) = (-1 + 2)\text{e}^{1} = \text{e}\).

Limite en \(+\infty\). Ensuite, on écrit \(f(x) = x\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{2}{\text{e}^{x}}\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0\), et \(\dfrac{2}{\text{e}^{x}} \to 0\). Donc \(f(x) \to 0\) en \(+\infty\).

En conclusion : \(f\) croît de \(-\infty\) à \(\text{e}\) sur \(]-\infty~;~-1]\), puis décroît de \(\text{e}\) vers 0 sur \([-1~;~+\infty[\).

3. a. Convexité de \(f\).

Ensuite, on dérive \(f'(x) = (-x - 1)\text{e}^{-x}\) comme un produit : la dérivée de \(-x - 1\) est \(-1\), celle de \(\text{e}^{-x}\) est \(-\text{e}^{-x}\).

\[f''(x) = -\text{e}^{-x} + (-x - 1)(-\text{e}^{-x}) = \left(-1 + x + 1\right)\text{e}^{-x} = x\,\text{e}^{-x}.\]

Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f''(x)\) a le signe de \(x\) : négatif sur \(]-\infty~;~0[\), positif sur \(]0~;~+\infty[\).

En conclusion : \(f\) est concave sur \(]-\infty~;~0]\) et convexe sur \([0~;~+\infty[\).

Question 3 b

3. b. Points d'inflexion.

La dérivée seconde s'annule en 0 en changeant de signe : la convexité change en ce point, qui est donc le seul point d'inflexion. Son ordonnée est \(f(0) = 2\). C'est le point N, ce qui explique que la tangente \(T\) traverse la courbe en N sur le graphique.

En conclusion : \(\mathcal{C}_f\) a un unique point d'inflexion, N(0 ; 2).

4. a. Calculer \(I(t)\) par intégration par parties.

Alors, on pose \(u(x) = x + 2\) et \(v'(x) = \text{e}^{-x}\), d'où \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = -\text{e}^{-x}\). Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \(\mathbb{R}\). La formule \(\displaystyle\int_{-2}^{t} u v' = \big[uv\big]_{-2}^{t} - \int_{-2}^{t} u'v\) donne :

\[I(t) = \Big[-(x + 2)\text{e}^{-x}\Big]_{-2}^{t} + \int_{-2}^{t}\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]

Le crochet vaut \(-(t + 2)\text{e}^{-t} - 0\) car \(x + 2\) s'annule en \(-2\). La seconde intégrale vaut \(\Big[-\text{e}^{-x}\Big]_{-2}^{t} = -\text{e}^{-t} + \text{e}^{2}\). En regroupant :

\[I(t) = -(t + 2)\text{e}^{-t} - \text{e}^{-t} + \text{e}^{2} = (-t - 3)\text{e}^{-t} + \text{e}^{2}.\]

En conclusion : pour tout \(t \geqslant 0\), \(I(t) = (-t - 3)\text{e}^{-t} + \text{e}^{2}\).

4. b. Une surface non limitée d'aire finie.

La fonction \(f\) est positive sur \([-2~;~+\infty[\) : \(I(t)\) est donc l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = -2\) et \(x = t\).

Quand \(t \to +\infty\), \(t\text{e}^{-t} \to 0\) (croissances comparées) et \(\text{e}^{-t} \to 0\), donc \((-t - 3)\text{e}^{-t} \to 0\) et \(I(t) \to \text{e}^{2}\).

Le domaine situé entre \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et à droite de la droite d'équation \(x = -2\) s'étend indéfiniment vers la droite : il n'est pas borné. Pourtant son aire vaut la limite de \(I(t)\), un nombre fini.

En conclusion : le domaine délimité par \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et la droite \(x = -2\), pour \(x \geqslant -2\), est non limité et a une aire égale à \(\text{e}^{2} \approx 7{,}39\) unités d'aire.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Un pourcentage « parmi » un groupe est une probabilité conditionnelle : bien repérer qui conditionne qui avant de choisir \(P_R(F)\) ou \(P_F(R)\).
• Pour une somme de variables indépendantes, les variances s'additionnent, et \(V(aX) = a^2V(X)\) : ne pas oublier le carré du coefficient.
• Deux droites de l'espace non parallèles sont soit sécantes, soit non coplanaires : seul le système permet de trancher.
• Pour une suite \(u_{n+1} = g(u_n)\) : récurrence pour l'encadrement, signe de \(u_{n+1} - u_n\) pour la monotonie, puis \(\ell = g(\ell)\) pour la limite.
• Un changement de variable par le logarithme peut transformer une récurrence non linéaire en suite géométrique.
• Le signe de \(f\) donne les variations d'une primitive, le signe de \(f''\) la convexité de \(f\) : ne pas confondre les niveaux de dérivation.

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Ce que contient le corrigé du bac 2024, France, jour 2

Ce corrigé du bac 2024, France, jour 2 du 20 juin 2024 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : probabilités conditionnelles, arbre pondéré, loi binomiale, espérance et variance d'une somme, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (4 points) traite : géométrie dans l'espace : vecteur normal, représentation paramétrique, équation cartésienne de plan, position relative de deux droites. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) aborde : suite récurrente, raisonnement par récurrence, monotonie et convergence, algorithme Python, suite géométrique et logarithme. Enfin, la correction de l'exercice 4 (6 points) porte sur : lecture graphique, nombre dérivé, convexité, primitive, fonction exponentielle, tableau de variations, point d'inflexion, intégration par parties.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2024, France, jour 2

Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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