Sujet du bac de maths 2024 : France, jour 2
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2024
France — Sujet 2 — 20 juin 2024
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2024, France, jour 2) 5 points
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme « régulier » un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans.
Elle constate que 60 % de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, 47 % ont acheté la carte de fidélité.
Par ailleurs, parmi l'ensemble de tous les clients de la société, 38 % ont acheté la carte de fidélité.
Ensuite, on interroge au hasard un client et on considère les évènements suivants :
- \(R\) : « le client est un client régulier » ;
- \(F\) : « le client a acheté la carte de fidélité ».
Pour un évènement \(E\) quelconque, on note \(\overline{E}\) son évènement contraire et \(P(E)\) sa probabilité.
1. a. Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les pointillés.
b. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité.
c. Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier.
d. Le directeur du service des ventes affirme que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de 80 % sont des clients réguliers.
Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
2. Ensuite, on choisit un échantillon de 20 clients de la société sélectionnés de manière indépendante. Par ailleurs, on suppose que ce choix s'assimile à un tirage avec remise.
Désormais, on note \(X\) la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 20 clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. Par ailleurs, on rappelle que \(P(F) = 0{,}38\).
Les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à \(10^{-3}\) près.
Question 2 a
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire \(X\) ? Justifier.
b. Déterminer la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de 20.
Partie B
La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L'institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d'un nombre variable de questions.
Puis on choisit au hasard un échantillon de 1 000 clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. Désormais, on considère que ces 1 000 clients répondent.
- Pour les remercier, la société offre un bon d'achat à chacun des clients de l'échantillon. Le montant de ce bon d'achat dépend du nombre de questions posées au client.
- La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l'échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d'achat, offre à chacun d'eux une prime d'un montant de 50 euros versée sur la carte de fidélité.
Ensuite, on note \(Y_1\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1 000 clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d'achat des 1 000 clients.
Par ailleurs, on admet que son espérance \(E\left(Y_1\right)\) est égale à 30 000 et que sa variance \(V\left(Y_1\right)\) est égale à 100 000.
Désormais, on note \(X_2\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1 000 clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note \(Y_2\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 1 000 clients, associe le total, en euros, des montants de la prime de fidélité versée.
Par ailleurs, on admet que \(X_2\) suit la loi binomiale de paramètres 1 000 et 0,47 et que \(Y_2 = 50X_2\).
1. Calculer l'espérance \(E\left(X_2\right)\) de la variable \(X_2\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Puis on note \(Y = Y_1 + Y_2\) la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d'achat et prime de fidélité) aux 1 000 clients. Par ailleurs, on admet que les variables aléatoires \(Y_1\) et \(Y_2\) sont indépendantes.
Ensuite, on note \(Z\) la variable aléatoire définie par \(Z = \dfrac{Y}{1\,000}\).
Question 2
2. Préciser ce que modélise la variable \(Z\) dans le contexte de l'exercice.
Vérifier que son espérance \(E(Z)\) est égale à \(53{,}5\) et que sa variance \(V(Z)\) est égale à \(0{,}722\,75\).
3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que \(Z\) soit strictement compris entre \(51{,}7\) euros et \(55{,}3\) euros est supérieure à \(0{,}75\).
Exercice 2 (sujet de bac 2024, France, jour 2) 4 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\), on considère les points
\[\text{A}(0~;~4~;~-1), \quad \text{B}(6~;~1~;~5) \quad \text{et} \quad \text{C}(6~;~-2~;~-1).\]
Par ailleurs, on admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 1 : Le vecteur \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).
Affirmation 2 : Une représentation paramétrique de la droite (AB) est
\[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + 2t\\ y &=& 3 - t\\ z &=& 1 + 2t \end{array}\right. \quad \text{où } t \in \mathbb{R}.\]
Affirmation 3 : Une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) passant par le point C et orthogonal à la droite (AB) est
\[2x + 2y - z - 9 = 0.\]
Désormais, on considère les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique :
\[\mathcal{D}\quad \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 3+t\\ y &=& 1+t\\ z &=& 2+t \end{array}\right. \quad \text{où } t \in \mathbb{R} \quad ; \qquad \mathcal{D}'\quad \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2t'\\ y &=& 4 - t'\\ z &=& -1 + 2t' \end{array}\right. \quad \text{où } t' \in \mathbb{R}.\]
Affirmation 4 : \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) ne sont pas coplanaires.
Exercice 3 (sujet de bac 2024, France, jour 2) 5 points
Soit \(a\) un nombre réel strictement supérieur à 1.
Ensuite, on considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \(u_0 = a\) et, pour tout entier naturel \(n\) :
\[u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2.\]
En outre, on admet que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \gt 1\).
L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite \(\left(u_n\right)\) pour différentes valeurs du nombre réel \(a\).
Partie A : étude de la suite \(\left(u_n\right)\) dans le cas \(1 \lt a \lt 2\)
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1} - 2 = u_n\left(u_n - 2\right)\).
b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1} - u_n = \left(u_n - 1\right)\left(u_n - 2\right)\).
2. Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
a. En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n \lt 2\).
b. Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente et déterminer sa limite.
Partie B : étude dans le cas particulier \(a = 2\)
1. On donne ci-contre la fonction u écrite en langage Python.
def u(a,n) :
u=a
for k in range(n) :
u=u**2-2*u+2
return u
Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l'on saisit u(2,1) et u(2,2) dans la console Python.
2. Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite \(\left(u_n\right)\) dans le cas où \(a = 2\) ?
Par ailleurs, on admettra ce résultat sans démonstration.
Partie C : étude dans le cas général
1. On considère la suite \(\left(v_n\right)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = \ln\left(u_n - 1\right)\).
a. Montrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison 2 dont on précisera le premier terme en fonction de \(a\).
b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 1 + \text{e}^{2^n \times \ln(a-1)}\).
2. Déterminer, suivant les valeurs du réel \(a\) strictement supérieur à 1, la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
Exercice 4 (sujet de bac 2024, France, jour 2) 6 points
Soit \(f\) une fonction définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f'\) sa fonction dérivée et \(f''\) sa dérivée seconde.
Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :
- la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) ;
- la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) en son point N(0 ; 2) ;
- le point M(−2 ; 0) appartenant à \(\mathcal{C}_f\) et P(2 ; 0) appartenant à la tangente \(T\).
En outre, on précise que la fonction \(f\) est strictement positive sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle \(]-\infty~;~-1]\).
Partie A : étude graphique
On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.
1. a. Donner \(f(0)\).
b. Déterminer \(f'(0)\).
2. Résoudre l'équation \(f(x) = 0\).
3. La fonction \(f\) est-elle convexe sur \(\mathbb{R}\) ? Justifier.
4. Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Justifier.
Partie B : recherche d’une expression algébrique
On admet que la fonction \(f\) est de la forme
\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{\lambda x},\]
où \(a\), \(b\) et \(\lambda\) sont des constantes réelles.
Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.
1. Justifier que \(b = 2\).
2. Justifier que \(-2a + b = 0\) puis en déduire la valeur de \(a\).
3. Déterminer une expression algébrique de \(f\). Justifier.
Partie C : étude algébrique
On admet que la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]
1. Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
2. Par ailleurs, on admet que \(f'(x) = (-x - 1)\text{e}^{-x}\). Dresser le tableau de variations complet de \(f\).
Justifier.
3. a. Étudier la convexité de \(f\).
b. Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_f\).
4. Pour tout nombre réel \(t \geqslant 0\), on pose :
\[I(t) = \displaystyle\int_{-2}^{t} f(x)\,\text{d}x.\]
a. En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[I(t) = (-t - 3)\text{e}^{-t} + \text{e}^{2}.\]
b. En déduire un exemple de surface non limitée dont l'aire est finie.
Présentation du sujet de bac 2024, France, jour 2
Ce sujet de bac 2024, France, jour 2 du 20 juin 2024 compte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (5 points) traite : probabilités conditionnelles, arbre pondéré, loi binomiale, espérance et variance d'une somme, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ensuite, l'exercice 2 (4 points) porte sur : géométrie dans l'espace : vecteur normal, représentation paramétrique, équation cartésienne de plan, position relative de deux droites. Puis, l'exercice 3 (5 points) aborde : suite récurrente, raisonnement par récurrence, monotonie et convergence, algorithme Python, suite géométrique et logarithme. Enfin, l'exercice 4 (6 points) traite : lecture graphique, nombre dérivé, convexité, primitive, fonction exponentielle, tableau de variations, point d'inflexion, intégration par parties.
Ainsi, avec quatre heures pour vingt points, comptez environ douze minutes par point. Par exemple, l'exercice 4, noté sur 6 points, mérite à peu près 70 minutes. Enfin, gardez un quart d'heure pour relire vos résultats.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2024, France, jour 2
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Quand vous avez fini, passez à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
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