Sujet du bac de maths 2024 : Amérique du Nord, jour 1
Entraînez-vous en temps limité, puis comparez avec la correction complète. Toutes les annales depuis 2020 sont listées sur notre page consacrée au bac de maths.
Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2024
Amérique du Nord — Sujet 1 (Jour 1) — 21 mai 2024
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 1) 5 points
Puis, un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. Ensuite, L'objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.
De même, de même, les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :
- la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % ;
- si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % ;
- si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Ainsi, un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. Puis on note :
- \(R\) l'évènement « le joueur tire un objet rare » ;
- \(E\) l'évènement « le joueur tire une épée » ;
- \(\overline{R}\) et \(\overline{E}\) les évènements contraires des évènements \(R\) et \(E\).
1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer \(P(R \cap E)\).
2. Également, calculer la probabilité de tirer une épée.
3. Le joueur a tiré une épée. De plus, déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
Partie B
Puis, un joueur remporte 30 défis.
On note \(X\) la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis. Ensuite, les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
1. Ensuite, déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\). Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
2. Déterminer \(P(X \lt 6)\). Arrondir le résultat au millième.
3. Par ailleurs, déterminer la plus grande valeur de \(k\) telle que \(P(X \geqslant k) \geqslant 0{,}5\). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer \(N\) objets. Par ailleurs, la probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
Également, par ailleurs, les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces \(N\) tirages soit supérieure ou égale à \(0{,}95\).
Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. Puis on veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
Exercice 2 (sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 1) 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les quatre questions sont indépendantes.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\).
1. Ainsi, on considère les points A(1 ; 0 ; 3) et B(4 ; 1 ; 0).
Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
| a. \(\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 3 + t \\ y &=& 1 \\ z &=& -3 + 3t \end{array}\right.\) avec \(t \in \mathbb{R}\) | b. \(\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 1 + 4t \\ y &=& t \\ z &=& 3 \end{array}\right.\) avec \(t \in \mathbb{R}\) |
| c. \(\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 1 + 3t \\ y &=& t \\ z &=& 3 - 3t \end{array}\right.\) avec \(t \in \mathbb{R}\) | d. \(\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 4 + t \\ y &=& 1 \\ z &=& 3 - 3t \end{array}\right.\) avec \(t \in \mathbb{R}\) |
Puis, on considère la droite \((d)\) de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 3 + 4t \\ y &=& 6t \\ z &=& 4 - 2t \end{array}\right.\) avec \(t \in \mathbb{R}\)
2. Aussi, parmi les points suivants, lequel appartient à la droite \((d)\) ?
| a. M(7 ; 6 ; 6) | b. N(3 ; 6 ; 4) | c. P(4 ; 6 ; −2) | d. R(−3 ; −9 ; 7) |
3. Aussi, on considère la droite \((d')\) de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{lcl} x &=& -2 + 3k \\ y &=& -1 - 2k \\ z &=& 1 + k \end{array}\right.\) avec \(k \in \mathbb{R}\)
Les droites \((d)\) et \((d')\) sont :
| a. sécantes | b. non coplanaires | c. parallèles | d. confondues |
4. Puis, on considère le plan \((P)\) passant par le point I(2 ; 1 ; 0) et perpendiculaire à la droite \((d)\).
Une équation du plan \((P)\) est :
| a. \(2x + 3y - z - 7 = 0\) | b. \(-x + y - 4z + 1 = 0\) |
| c. \(4x + 6y - 2z + 9 = 0\) | d. \(2x + y + 1 = 0\) |
Exercice 3 (sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 1) 5 points
De même, le but de cet exercice est d'étudier la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :
\[f(x) = x\ln\left(x^2\right) - \dfrac{1}{x}.\]
Partie A : lectures graphiques
Aussi, on a tracé ci-dessous la courbe représentative \((\mathcal{C}_f)\) de la fonction \(f\), ainsi que la droite \((T)\), tangente à la courbe \((\mathcal{C}_f)\) au point A de coordonnées \((1~;~-1)\).
De même, cette tangente passe également par le point B\((0~;~-4)\).
1. Lire graphiquement \(f'(1)\) et donner l'équation réduite de la tangente \((T)\).
2. De fait, donner les intervalles sur lesquels la fonction \(f\) semble convexe ou concave.
Que semble représenter le point A pour la courbe \((\mathcal{C}_f)\) ?
Partie B : étude analytique
1. De fait, déterminer, en justifiant, la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis sa limite en \(0\).
2. Ainsi, on admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
a. Ensuite, déterminer \(f'(x)\) pour \(x\) appartenant à l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
b. Puis montrer que pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(]0~;~+\infty[\),
\[f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}.\]
3. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
b. Étudier les variations de la fonction \(f'\), puis le signe de \(f'(x)\) pour \(x\) appartenant à l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
De plus, de plus, en déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
4. a. De plus, montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
b. Ensuite, donner la valeur arrondie au centième de \(\alpha\) et montrer que \(\alpha\) vérifie :
\[\alpha^2 = \exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right).\]
Exercice 4 (sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 1) 6 points
Pour tout entier naturel \(n\), on considère les intégrales suivantes :
\[I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\sin(x)\,\text{d}x, \quad J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos(x)\,\text{d}x.\]
1. Calculer \(I_0\).
2. a. Par ailleurs, justifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(I_n \geqslant 0\).
b. Puis montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(I_{n+1} - I_n \leqslant 0\).
c. Ensuite, déduire des deux questions précédentes que la suite \(\left(I_n\right)\) converge.
3. a. Puis montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\,\text{d}x.\]
b. De plus, montrer que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on a :
\[\displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\,\text{d}x = \dfrac{1 - \text{e}^{-n\pi}}{n}.\]
c. Ensuite, déduire des deux questions précédentes la limite de la suite \(\left(I_n\right)\).
4. a. Par ailleurs, en intégrant par parties l'intégrale \(I_n\) de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) :
\[I_n = 1 + \text{e}^{-n\pi} - nJ_n \quad \text{et} \quad I_n = \dfrac{1}{n}J_n\]
b. Puis en déduire que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on a
\[I_n = \dfrac{1 + \text{e}^{-n\pi}}{n^2 + 1}\]
5. Ensuite, on souhaite obtenir le rang \(n\) à partir duquel la suite \(\left(I_n\right)\) devient inférieure à 0,1.
Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.
1 from math import * 2 def seuil() : 3 n = 0 4 I = 2 5 ... 6 n=n+1 7 I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1) 8 return n
Comment aborder ce sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 1
Par ailleurs, le sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 1 du 21 mai 2024 réunit quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (5 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec le logarithme. Ensuite, l'exercice 2 (4 points) porte sur : représentation paramétrique d'une droite, position relative de deux droites, équation cartésienne d'un plan. Puis, l'exercice 3 (5 points) porte sur : lecture de tangente, limites, dérivées première et seconde, convexité et point d'inflexion, théorème des valeurs intermédiaires. Enfin, l'exercice 4 (6 points) traite : calcul intégral, positivité et comparaison d'intégrales, suite monotone bornée, théorème des gendarmes, intégration par parties, algorithme de seuil.
En pratique, chronométrez-vous dès le départ, car le temps file vite. Par exemple, l'exercice 4 vaut 6 points, donc il mérite environ 70 minutes. Par ailleurs, une question admise peut toujours servir pour la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 1
Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Ensuite, pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Puis en géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Après votre recherche, vérifiez votre copie grâce à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2024
- France, jour 1
- France, jour 2
- Amérique du Nord, jour 2
- Centres étrangers, jour 1
- Centres étrangers, jour 2
- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.
Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.Télécharger ou imprimer cette fiche «sujet du bac de maths 2024 : Amérique du Nord, jour 1» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
