Sujet du bac de maths 2024 : France, jour 1
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2024
France — Sujet 1 — 19 juin 2024
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2024, France, jour 1) 4 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Désormais, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=5x\text{e}^{-x}\).
Ensuite, on note \(C_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.
Affirmation 1 :
L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe \(C_f\).
Affirmation 2 :
La fonction \(f\) est solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \((E)\) : \(y'+y=5\text{e}^{-x}\).
2. Puis on considère les suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\), telles que, pour tout entier naturel \(n\) :
\[u_n \leqslant v_n \leqslant w_n.\]
De plus, la suite \((u_n)\) converge vers \(-1\) et la suite \((w_n)\) converge vers 1.
Affirmation 3 :
La suite \((v_n)\) converge vers un nombre réel \(\ell\) appartenant à l'intervalle \([-1\,;\,1]\).
En outre, on suppose de plus que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((w_n)\) est décroissante.
Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel \(n\), on a alors : \(u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0\).
Exercice 2 (sujet de bac 2024, France, jour 1) 5 points
Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.
Les achats sur internet représentent 60 % des ventes, les achats en magasin d'électroménager 30 % des ventes et ceux en grandes surfaces 10 % des ventes.
Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :
- 75 % pour les clients sur internet ;
- 90 % pour les clients en magasin d'électroménager ;
- 80 % pour les clients en grande surface.
Ensuite, on choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.
Puis on définit les évènements suivants :
- \(I\) : « le client a effectué son achat sur internet » ;
- \(M\) : « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager » ;
- \(G\) : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
- \(S\) : « le client est satisfait du service clientèle ».
Si \(A\) est un évènement quelconque, on notera \(\overline{A}\) son évènement contraire et \(P(A)\) sa probabilité.
1. Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.
2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
3. Démontrer que \(P(S)=0{,}8\).
4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? Par ailleurs, on donnera un résultat arrondi à \(10^{-3}\) près.
5. Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. En outre, on suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. Puis on note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
Question 5 a
a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Déterminer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\) près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à \(0{,}99\).
7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.
Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire \(T\) égale à la somme de deux variables aléatoires \(T_1\) et \(T_2\).
La variable aléatoire \(T_1\) modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire \(T_2\) modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
En outre, on admet que les variables aléatoires \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendantes, et on donne :
- L'espérance \(E(T_1)=4\) et la variance \(V(T_1)=2\) ;
- L'espérance \(E(T_2)=3\) et la variance \(V(T_2)=1\).
a. Déterminer l'espérance \(E(T)\) et la variance \(V(T)\) de la variable aléatoire \(T\).
b. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à \(\dfrac{2}{3}\).
Exercice 3 (sujet de bac 2024, France, jour 1) 5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}\,;\,\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j},\,\overrightarrow{k}\right)\).
Ensuite, on considère les points \(\text{A}(5\,;\,5\,;\,0)\), \(\text{B}(0\,;\,5\,;\,0)\), \(\text{C}(0\,;\,0\,;\,10)\) et \(\text{D}\left(0\,;\,0\,;\,-\dfrac{5}{2}\right)\).
1. a. Montrer que \(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (CAD).
b. En déduire que le plan (CAD) a pour équation cartésienne : \(x-y=0\).
2. Puis on considère la droite \(\mathcal{D}\) de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{5}{2}t\\ y=5-\dfrac{5}{2}t\\ z=0\end{array}\right.\) où \(t\in\mathbb{R}\).
a. Par ailleurs, on admet que la droite \(\mathcal{D}\) et le plan (CAD) sont sécants en un point H. Justifier que les coordonnées de H sont \(\left(\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}\,;\,0\right)\).
b. Démontrer que le point H est le projeté orthogonal de B sur le plan (CAD).
3. a. Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.
b. En déduire que l'aire du triangle ABH est égale à \(\dfrac{25}{4}\).
4. a. Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C.
b. En déduire le volume du tétraèdre ABCH.
En outre, on rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : \(V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h\), où \(\mathcal{B}\) est l'aire d'une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.
5. Par ailleurs, on admet que le triangle ABC est rectangle en B. Déduire des questions précédentes la distance du point H au plan (ABC).
Exercice 4 6 points
Partie A : étude de la fonction \(f\)
La fonction \(f\) est définie sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :
\[f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln x,\]
où ln désigne la fonction logarithme népérien. En outre, on admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\), on note \(f'\) sa dérivée et \(f''\) sa dérivée seconde.
1. a. Déterminer, en justifiant, les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
b. Montrer que pour tout \(x\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\), on a : \(f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}\).
c. Étudier le sens de variation de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
d. Étudier la convexité de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
2. a. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet dans \(]0\,;\,+\infty[\) une solution unique qu'on notera \(\alpha\) et justifier que \(\alpha\) appartient à l'intervalle \([1\,;\,2]\).
b. Déterminer le signe de \(f(x)\) pour \(x\in\,]0\,;\,+\infty[\).
c. Montrer que \(\ln(\alpha)=2(2-\alpha)\).
Partie B : étude de la fonction \(g\)
La fonction \(g\) est définie sur \(]0\,;\,1]\) par :
\[g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2\ln x.\]
Par ailleurs, on admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0\,;\,1]\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée.
1. Calculer \(g'(x)\) pour \(x\in\,]0\,;\,1]\) puis vérifier que \(g'(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)\).
2. a. Justifier que pour \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]0\,;\,\dfrac{1}{\alpha}\right[\), on a \(f\left(\dfrac{1}{x}\right)\gt 0\).
b. En outre, on admet le tableau de signes suivant :
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{\alpha}\) | \(1\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) | || | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
En déduire le tableau de variations de \(g\) sur l'intervalle \(]0\,;\,1]\). Les images et les limites ne sont pas demandées.
Partie C : un calcul d’aire
On a représenté sur le graphique ci-dessous :
- La courbe \(\mathcal{C}_g\) de la fonction \(g\) ;
- La parabole \(\mathcal{P}\) d'équation \(y=-\dfrac{7}{8}x^2+x\) sur l'intervalle \(]0\,;\,1]\).
Ensuite, on souhaite calculer l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine hachuré compris entre les courbes \(\mathcal{C}_g\) et \(\mathcal{P}\), et les droites d'équations \(x=\dfrac{1}{\alpha}\) et \(x=1\).
En outre, on rappelle que \(\ln(\alpha)=2(2-\alpha)\).
1. a. Justifier la position relative des courbes \(\mathcal{C}_g\) et \(\mathcal{P}\) sur l'intervalle \(]0\,;\,1]\).
b. Démontrer l'égalité :
\[\int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}\]
2. En déduire l'expression en fonction de \(\alpha\) de l'aire \(\mathcal{A}\).
Présentation du sujet de bac 2024, France, jour 1
Le sujet de bac 2024, France, jour 1 du 19 juin 2024 compte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (4 points) traite : limite de référence avec l'exponentielle, équation différentielle, théorème des gendarmes, suites monotones. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) porte sur : arbre pondéré, probabilités totales, formule de Bayes, loi binomiale, logarithme, somme de variables aléatoires, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Puis, l'exercice 3 (5 points) porte sur : vecteur normal et équation cartésienne, représentation paramétrique, projeté orthogonal, aire, volume d'un tétraèdre, distance d'un point à un plan. Enfin, l'exercice 4 (6 points) aborde : fonction logarithme, limites, dérivées, convexité, théorème des valeurs intermédiaires, composée, intégration par parties, aire entre deux courbes.
Ainsi, avec quatre heures pour vingt points, comptez environ douze minutes par point. Par exemple, l'exercice 4, noté sur 6 points, mérite à peu près 70 minutes. Enfin, gardez un quart d'heure pour relire vos résultats.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2024, France, jour 1
Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Après votre recherche, vérifiez votre copie grâce à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
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