Sujet du bac de maths 2024 : France, septembre, jour 1

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Exercice 1 (sujet de bac 2024, France, septembre, jour 1) 6 points

De plus, de plus, de plus, de plus, de plus, on considère un cube ABCDEFGH de côté 1.

Par ailleurs, le point I est le milieu du segment [BD]. Ensuite, on définit le point L tel que \( \overrightarrow{\text{IL}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{IG}} \).

De même, on se place dans le repère orthonormé \( \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right) \).

1. a. Préciser les coordonnées des points D, B, I et G. Aucune justification n'est attendue.

b. Ainsi, montrer que le point L a pour coordonnées \( \left(\dfrac{7}{8}~;~\dfrac{7}{8}~;~\dfrac{3}{4}\right) \).

2. De plus, vérifier qu'une équation cartésienne du plan (BDG) est \( x + y - z - 1 = 0 \).

3. De plus, on considère la droite \( \Delta \) perpendiculaire au plan (BDG) passant par L.

a. Puis, par ailleurs, justifier qu'une représentation paramétrique de la droite \( \Delta \) est :

\[ \left\{\begin{array}{l c l} x & = & \dfrac{7}{8} + t \\ y & = & \dfrac{7}{8} + t \\ z & = & \dfrac{3}{4} - t \end{array}\right. \quad \text{où } t \in \mathbb{R}. \]

b. De plus, montrer que les droites \( \Delta \) et (AE) sont sécantes au point K de coordonnées \( \left(0~;~0~;~\dfrac{13}{8}\right) \).

c. Ainsi, que représente le point L pour le point K ? Puis justifier la réponse.

4. a. Calculer la distance KL.

b. Ainsi, on admet que le triangle DBG est équilatéral. De plus, montrer que son aire est égale à \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

c. Ainsi, par ailleurs, en déduire le volume du tétraèdre KDBG.

On rappelle que :

• le volume d'une pyramide est donné par la formule \( \mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h \) où \( \mathcal{B} \) est l'aire d'une base et \( h \) la longueur de la hauteur relative à cette base ;
• un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

5. Puis, on désigne par \( a \) un réel appartenant à l'intervalle \( ]0~;~+\infty[ \) et on note \( K_a \) le point de coordonnées \( (0~;~0~;~a) \).

a. Ensuite, exprimer le volume \( \mathcal{V}_a \) de la pyramide ABCD\( K_a \) en fonction de \( a \).

b. Par ailleurs, on note \( \Delta_a \) la droite de représentation paramétrique

\[ \left\{\begin{array}{l c l} x & = & t' \\ y & = & t' \\ z & = & -t' + a \end{array}\right. \quad \text{où } t' \in \mathbb{R}. \]

De même, on appelle \( L_a \) le point d'intersection de la droite \( \Delta_a \) avec le plan (BDG).

De même, de fait, montrer que les coordonnées du point \( L_a \) sont \( \left(\dfrac{a+1}{3}~;~\dfrac{a+1}{3}~;~\dfrac{2a-1}{3}\right) \).

c. Ainsi, déterminer, s'il existe, un réel strictement positif \( a \) tel que le tétraèdre GDB\( K_a \) et la pyramide ABCD\( K_a \) sont de même volume.

Exercice 2 (sujet de bac 2024, France, septembre, jour 1) 5 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Puis, un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montagne locale représentée en Figure 1. Ensuite, la base d'un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1 cm (Figure 2).

Également, cette surface est délimitée par l'axe des abscisses et la représentation graphique notée \( \mathcal{C}_f \) de la fonction \( f \) définie sur \( [-1~;~1] \) par :

\[ f(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^{x}. \]

L'objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon au chocolat.

1. a. Justifier que pour tout \( x \) appartenant à l'intervalle \( [-1~;~1] \) on a \( f(x) \geqslant 0 \).

b. Également, montrer à l'aide d'une intégration par parties que :

\[ \int_{-1}^{1} f(x)\,\text{d}x = 2\int_{-1}^{1} x\,\text{e}^{x}\,\text{d}x. \]

2. Ainsi, le volume \( \mathcal{V} \) de chocolat, en cm³, nécessaire à la fabrication d'un bonbon est donné par :

\[ \mathcal{V} = 3 \times S \]

où \( S \) est l'aire, en cm², de la surface colorée (Figure 2).

Puis, en déduire que ce volume \( \mathcal{V} \), arrondi à \( 0{,}1 \) cm³ près, est égal à \( 4{,}4 \) cm³.

Partie B

Également, on s'intéresse maintenant au bénéfice réalisé par l'artisan sur la vente de ces bonbons au chocolat en fonction du volume hebdomadaire des ventes.

Aussi, ce bénéfice peut être modélisé par la fonction \( B \) définie sur l'intervalle \( [0{,}01~;~+\infty[ \) par :

\[ B(q) = 8q^2\left[2 - 3\ln(q)\right] - 3. \]

Puis, le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros et la quantité \( q \) en centaines de bonbons.

De plus, on admet que la fonction \( B \) est dérivable sur \( [0{,}01~;~+\infty[ \). Par ailleurs, on note \( B' \) sa fonction dérivée.

1. a. Déterminer \( \displaystyle\lim_{q \to +\infty} B(q) \).

b. De plus, montrer que, pour tout \( q \geqslant 0{,}01 \), \( B'(q) = 8q\left(1 - 6\ln(q)\right) \).

c. Ainsi, étudier le signe de \( B'(q) \), et en déduire le sens de variation de \( B \) sur \( [0{,}01~;~+\infty[ \).

Ainsi, dresser le tableau de variation complet de la fonction \( B \).

d. Également, quel est le bénéfice maximal, à l'euro près, que peut espérer l'artisan ?

2. a. Montrer que l'équation \( B(q) = 10 \) admet une unique solution \( \beta \) sur l'intervalle \( [1{,}2~;~+\infty[ \).

De fait, de plus, donner une valeur approchée de \( \beta \) à \( 10^{-3} \) près.

b. Également, de même, on admet que l'équation \( B(q) = 10 \) admet une unique solution \( \alpha \) sur \( [0{,}01~;~1{,}2[ \).

On donne \( \alpha \approx 0{,}757 \).

Ainsi, en déduire le nombre minimal et le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros.

Exercice 3 (sujet de bac 2024, France, septembre, jour 1) 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Puis une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Ainsi, on considère une suite \( (t_n) \) vérifiant la relation de récurrence :

\[ \text{pour tout entier naturel } n,~ t_{n+1} = -0{,}8\,t_n + 18. \]

Affirmation 1 : La suite \( (w_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par \( w_n = t_n - 10 \) est géométrique.

2. Ainsi, par ailleurs, on considère une suite \( (S_n) \) qui vérifie pour tout entier naturel \( n \) non nul :

\[ 3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4. \]

La suite \( (u_n) \) est définie, pour tout entier naturel \( n \) non nul, par : \( u_n = \dfrac{S_n}{n} \).

Affirmation 2 : La suite \( (u_n) \) converge.

3. On considère la suite \( (v_n) \) définie par :

\[ v_1 = 2 \text{ et pour tout entier naturel } n \geqslant 1,~ v_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{v_n}. \]

Affirmation 3 : Pour tout entier naturel \( n \geqslant 1 \), \( v_n = \dfrac{n+1}{n} \).

4. On considère la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par \( u_n = \text{e}^{n} - n \).

Affirmation 4 : La suite \( (u_n) \) converge.

5. On considère la suite \( (u_n) \) définie à l'aide du script écrit ci-dessous en langage Python, qui renvoie la valeur de \( u_n \).

def u(n) :
    valeur = 2
    for k in range(n) :
        valeur = 0.5 * (valeur + 2/valeur)
    return valeur

Également, par ailleurs, on admet que \( (u_n) \) est décroissante et vérifie pour tout entier naturel \( n \) :

\[ \sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2. \]

Affirmation 5 : La suite \( (u_n) \) converge vers \( \sqrt{2} \).

Exercice 4 (sujet de bac 2024, France, septembre, jour 1) 4 points

Les deux parties sont indépendantes.

Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.

Partie A

Aussi, un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que 2 % des cachets ont une masse non conforme. Ensuite, ces cachets sont conditionnés par boîtes de 100 choisis au hasard dans la chaîne de production. Puis on admet que la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres.

On note \( N \) la variable aléatoire qui à chaque boîte de 100 cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.

1. Justifier que la variable aléatoire \( N \) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Ainsi, calculer l'espérance de \( N \) et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

3. On arrondira les résultats à \( 10^{-3} \) près.

a. Calculer la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non conformes.

b. Aussi, calculer la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes.

4. Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer : « La probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à 0,5 ».

Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? De plus, justifier.

Partie B

Également, on admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. Puis, on prélève 100 cachets et on note \( M_i \), pour \( i \) entier naturel compris entre 1 et 100, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du \( i \)-ème cachet prélevé.

De fait, on considère la variable aléatoire \( S \) définie par :

\[ S = M_1 + M_2 + \ldots + M_{100}. \]

On admet que les variables aléatoires \( M_1,~M_2,~\ldots,~M_{100} \) suivent la même loi de probabilité d'espérance \( \mu = 2 \) et d'écart-type \( \sigma \).

1. Déterminer \( E(S) \) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

2. De même, on note \( s \) l'écart type de la variable aléatoire \( S \).

Montrer que : \( s = 10\sigma \).

3. Par ailleurs, on souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à 0,9.

a. Montrer que cette condition est équivalente à :

\[ P\left(|S - 200| \geqslant 1\right) \leqslant 0{,}1. \]

b. En déduire la valeur maximale de \( \sigma \) qui permet, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, d'assurer cette condition.

Voir le corrigé détaillé : bac de maths 2024, France, septembre, jour 1

Présentation du sujet de bac 2024, France, septembre, jour 1

Ce sujet de bac 2024, France, septembre, jour 1 du 11 septembre 2024 réunit quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (6 points) aborde : géométrie dans l'espace : repère du cube, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, volumes de pyramides. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) traite : intégration par parties, aire sous une courbe, fonction logarithme, dérivée d'un produit, tableau de variation, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Puis, l'exercice 3 (5 points) traite : suites : suite géométrique auxiliaire, théorème des gendarmes, raisonnement par récurrence, croissances comparées, convergence monotone et limite d'une suite récurrente. Enfin, l'exercice 4 (4 points) porte sur : loi binomiale, espérance, logarithme pour résoudre une inéquation, somme de variables aléatoires indépendantes, inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

En pratique, chronométrez-vous dès le départ, car le temps file vite. Par exemple, l'exercice 1 vaut 6 points, donc il mérite environ 70 minutes. Par ailleurs, une question admise peut toujours servir pour la suite.

Méthodes utiles pour le sujet de bac 2024, France, septembre, jour 1

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Ensuite, en probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Quand vous avez fini, passez à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.

Les autres sujets de 2024

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• Amérique du Nord, jour 1
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Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.

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