Corrigé du brevet de maths 2009 : Centres étrangers
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2009 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé étrangers 2009
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers 2009 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 6 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions, puissances et racines » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Identités remarquables » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Temps au 200 m » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Triangle inscrit dans un cercle » (exercice 3 de la partie numérique). De plus, en outre, le corrigé explique « Pyramide et réduction » (activités géométriques).
Enfin, la correction reprend « Tarifs du théâtre » (exercice 1 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers 2009 sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, le calcul littéral et la médiane et les statistiques, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé étrangers 2009)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances et racines carrées
1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction. Ensuite, on simplifie avant de multiplier : \(\dfrac{2}{15}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{2\times9}{15\times4}=\dfrac{2\times3\times3}{3\times5\times2\times2}=\dfrac{3}{10}\).
On met ensuite au même dénominateur 30 :
\[A=\dfrac{7}{15}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{14}{30}-\dfrac{9}{30}=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}\]
Le numérateur 1 et le dénominateur 6 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1 : \(A=\dfrac{1}{6}\).
2. On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\[B=\dfrac{25\times3}{2}\times\dfrac{10^6\times10^{-2}}{10^2}=37{,}5\times10^{6-2-2}=37{,}5\times10^{2}\]
En écriture scientifique, le nombre devant la puissance de 10 doit être compris entre 1 et 10 : \(37{,}5=3{,}75\times10\), donc \(B=3{,}75\times10^{3}\), et en écriture décimale \(B=3\,750\).
3. a. À la calculatrice, \(C\approx18{,}384\,78\). Le chiffre des dix-millièmes est 7, donc on arrondit vers le haut : \(C\approx18{,}385\).
b. Puis on cherche le plus grand carré parfait qui divise 72 : \(72=36\times2\). Comme \(\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}\),
\[C=3\times6\sqrt{2}-5\sqrt{2}=18\sqrt{2}-5\sqrt{2}=13\sqrt{2}\]
Donc \(C=13\sqrt{2}\), avec \(a=13\). Vérification : \(13\times\sqrt{2}\approx18{,}385\), on retrouve le résultat du a.
Corrigé de l’exercice 2 : identités remarquables et calcul mental
1. D’abord, on applique l’identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) avec \(a=x\) et \(b=1\) : \((x-1)^2=x^2-2x+1\).
Alors on remarque que \(99=100-1\). On remplace donc \(x\) par 100 dans l’égalité précédente :
\[99^2=(100-1)^2=100^2-2\times100+1=10\,000-200+1=9\,801\]
Ensuite, on a bien \(99^2=9\,801\).
2. Puis on applique l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) : \((x-1)(x+1)=x^2-1\).
Comme \(99=100-1\) et \(101=100+1\), on prend encore \(x=100\) :
\[99\times101=(100-1)(100+1)=100^2-1=10\,000-1=9\,999\]
Ensuite, on a bien \(99\times101=9\,999\).
Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2009) : les temps du 200 m
Tout d’abord, on commence par ranger les sept temps dans l’ordre croissant :
\[20{,}09\ ;\ 20{,}12\ ;\ 20{,}19\ ;\ 20{,}25\ ;\ 20{,}38\ ;\ 20{,}48\ ;\ 20{,}69\]
1. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(20{,}69-20{,}09=0{,}6\). L’étendue est de 0,6 s.
2. La somme des sept temps vaut \(20{,}09+20{,}12+20{,}19+20{,}25+20{,}38+20{,}48+20{,}69=142{,}2\).
\[\text{moyenne}=\dfrac{142{,}2}{7}\approx20{,}314\]
La moyenne est d’environ 20,31 s au centième près. (Contrôle rapide : les écarts à 20 sont 0,09 ; 0,12 ; 0,19 ; 0,25 ; 0,38 ; 0,48 ; 0,69, de somme 2,2, donc la moyenne vaut \(20+\dfrac{2{,}2}{7}\approx20{,}31\).)
3. Il y a 7 valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 4e de la liste rangée. La médiane est 20,25 s.
4. L’athlète classé premier est le plus rapide, donc celui qui a le plus petit temps : 20,09 s. Sa vitesse moyenne est la distance divisée par la durée :
\[v=\dfrac{200}{20{,}09}\approx9{,}955\,2\ \text{m/s}\]
Le chiffre des dix-millièmes est 2, on arrondit vers le bas : \(v\approx9{,}955\) m/s.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : triangle inscrit dans un cercle
1. On trace un cercle de centre O et de rayon 5 cm, puis un diamètre [AB] (il mesure 10 cm). Puis on pointe le compas en B avec un écartement de 4,2 cm : l’arc coupe le cercle en un point M (on en choisit un des deux). On trace enfin le triangle ABM.
![Cercle C de centre O et de diamètre [AB] horizontal ; le point M est sur le cercle avec BM = 4,2 cm ; le triangle ABM a un angle droit codé en M et le rayon [OM] est tracé](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2009-centres-etrangers/gen-cercle-triangle-abm.webp)
2. Le triangle ABM est inscrit dans le cercle \(\mathcal{C}\) et son côté [AB] est un diamètre de ce cercle. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle, et le sommet de l’angle droit est le point opposé à ce diamètre. Le triangle ABM est donc rectangle en M.
3. Dans le triangle ABM rectangle en M, l’hypoténuse est [AB] (10 cm) et [BM] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{ABM}}\) :
\[\cos\widehat{\text{ABM}}=\dfrac{\text{BM}}{\text{AB}}=\dfrac{4{,}2}{10}=0{,}42\]
La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{\text{ABM}}\approx65{,}17^\circ\), donc \(\widehat{\text{ABM}}\approx65^\circ\) au degré près.
Pour \(\widehat{\text{AOM}}\), on regarde le triangle OBM : OB = OM = 5 cm (deux rayons), il est donc isocèle en O et ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{\text{OMB}}=\widehat{\text{OBM}}=\widehat{\text{ABM}}\approx65{,}17^\circ\). Alors \(\widehat{\text{BOM}}\approx180-2\times65{,}17=49{,}66^\circ\).
Les points A, O et B sont alignés, donc \(\widehat{\text{AOM}}=180^\circ-\widehat{\text{BOM}}\approx180-49{,}66=130{,}34^\circ\). On retrouve le double de \(\widehat{\text{ABM}}\) : c’est la propriété de l’angle au centre, qui mesure le double d’un angle inscrit interceptant le même arc AM. \(\widehat{\text{AOM}}\approx130^\circ\) au degré près.
Corrigé de l’exercice 2 (étrangers 2009) : pyramide et réduction
1. Les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu, et O est le centre du carré : O est donc le milieu de [AC] et \(\text{OA}=\dfrac{12}{2}=6\). Dans le triangle SOA rectangle en O, le théorème de Pythagore donne :
\[\text{SA}^2=\text{SO}^2+\text{OA}^2=8^2+6^2=64+36=100\]
Une longueur est positive, donc \(\text{SA}=\sqrt{100}\) : SA = 10 cm.
2. L’aire d’un carré est le carré de son côté :
\[\mathcal{A}=\text{AB}^2=\left(6\sqrt{2}\right)^2=6^2\times\left(\sqrt{2}\right)^2=36\times2=72\]
L’aire du carré ABCD est bien 72 cm².
3. Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}\) :
\[V=\dfrac{72\times8}{3}=24\times8=192\]
Le volume de SABCD est bien 192 cm³.
4. La face SAB est un triangle isocèle en S, donc SB = SA = 10. Dans le triangle SAB, les points S, A’, A sont alignés dans cet ordre, ainsi que S, B’, B (A’ est sur [SA] et B’ sur [SB]). Alors on compare les rapports :
\[\dfrac{\text{SA}^{\prime}}{\text{SA}}=\dfrac{3}{10}\quad\text{et}\quad\dfrac{\text{SB}^{\prime}}{\text{SB}}=\dfrac{3}{10}\]
Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.
5. Dans une réduction, toutes les longueurs sont multipliées par le même coefficient \(k\). Ensuite, le sommet S est commun et l’arête [SA] devient [SA’] : \(k=\dfrac{\text{SA}^{\prime}}{\text{SA}}=\dfrac{3}{10}\). Le coefficient de réduction est \(k=\dfrac{3}{10}=0{,}3\).
6. Quand les longueurs sont multipliées par \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[V^{\prime}=k^3\times V=0{,}3^3\times192=0{,}027\times192=5{,}184\]
Le volume de la pyramide SA’B’C’D’ est 5,184 cm³.
Problème
Corrigé du problème : les tarifs du théâtre MODECIA
1. Avec le tarif A, on paie 150 € quel que soit le nombre de spectacles. Puis, avec le tarif B, on paie 75 € puis 6 € par spectacle : pour 3 spectacles, \(75+6\times3=93\) ; pour 8, \(75+48=123\) ; pour 14, \(75+84=159\). Avec le tarif C, on paie 19 € par spectacle : \(19\times3=57\), \(19\times8=152\), \(19\times14=266\).
| Nombre de spectacles | 3 | 8 | 14 |
|---|---|---|---|
| Tarif A | 150 € | 150 € | 150 € |
| Tarif B | 93 € | 123 € | 159 € |
| Tarif C | 57 € | 152 € | 266 € |
2. Ensuite, on traduit chaque tarif en formule, pour \(x\) spectacles :
\(P_{\text{A}}(x)=150\) ; \(P_{\text{B}}(x)=6x+75\) ; \(P_{\text{C}}(x)=19x\).
3. Une fonction linéaire s’écrit \(x\mapsto ax\) : elle traduit une situation de proportionnalité. \(P_{\text{A}}\) est constante et \(P_{\text{B}}\) a un terme constant 75 (ce sont des fonctions affines non linéaires). Seule \(P_{\text{C}}\) est linéaire (coefficient 19) : le prix payé est proportionnel au nombre de spectacles.
4. \(P_{\text{B}}\) est affine, sa représentation \((T_{\text{B}})\) est une droite. Deux points suffisent, pris dans le tableau : (0 ; 75) et (14 ; 159) ; on peut contrôler avec (8 ; 123). Puis on trace la droite qui passe par ces points (en bleu ci-dessous).
5. On part de 100 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la droite \((T_{\text{C}})\), puis on descend sur l’axe des abscisses (pointillés rouges). Ensuite, on lit une valeur un peu supérieure à 5 (le calcul donne \(\dfrac{100}{19}\approx5{,}26\)). Le nombre de spectacles est un entier et 6 spectacles coûteraient 114 € : avec 100 € et le tarif C, on peut voir 5 spectacles.
Corrigé du problème : les tarifs du théâtre MODECIA (suite)
6. Puis on trace la verticale d’abscisse 8 (pointillés verts). Elle coupe \((T_{\text{B}})\) à 123, plus bas que \((T_{\text{A}})\) à 150 et que \((T_{\text{C}})\) à 152. Le tarif le plus intéressant est celui dont la droite est la plus basse : pour huit spectacles, c’est le tarif B (123 €).
7. Alors on isole \(x\) :
\[19x\gt6x+75\iff19x-6x\gt75\iff13x\gt75\iff x\gt\dfrac{75}{13}\]
car on divise par 13, qui est positif (le sens de l’inégalité ne change pas). Les solutions sont les nombres \(x\gt\dfrac{75}{13}\approx5{,}77\).
L’inéquation \(19x\gt6x+75\) signifie « le tarif C coûte plus cher que le tarif B », c’est-à-dire que le tarif B est plus intéressant. Comme \(x\) est un nombre entier de spectacles, il faut \(x\geqslant6\). Vérification : pour 5 spectacles, C coûte 95 € et B 105 € ; pour 6 spectacles, C coûte 114 € et B 111 €. Le tarif B est plus intéressant que le tarif C à partir de 6 spectacles.
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2009 : Centres étrangers.
Méthode pour exploiter le corrigé corrigé étrangers 2009
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé étrangers 2009 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers 2009
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2009 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2009. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et le calcul littéral. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers 2009
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
Les autres corrigés du brevet 2009
- Corrigé du brevet de maths 2009 : France
- Corrigé du brevet de maths 2009 : France, septembre
- De même, corrigé du brevet de maths 2009 : Amérique du Nord
- Corrigé du brevet de maths 2009 : Liban
- Corrigé du brevet de maths 2009 : Centres étrangers (groupe II)
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2009 : Centres étrangers» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
