Corrigé du brevet de maths 2009 : Liban

Corrigé de maths – Brevet 2009 : Liban – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet 2009 du Liban (juin 2009) reprend toutes les questions pas à pas. Tu y verras comment passer d’une somme de puissances de 10 à l’écriture décimale, scientifique ou fractionnaire, pourquoi la médiane de la série du QCM est plus petite que sa moyenne et comment développer deux carrés pour prouver que l’expression vaut \(ab\). En géométrie, la réciproque de Pythagore, le cosinus et la tangente règlent le problème du carré, puis un calcul de volumes montre que 295 pelotes de ficelle dépassent le tour de l’équateur. Le problème du terrain partagé fait travailler Thalès, l’aire d’un triangle rectangle, la lecture graphique d’un antécédent, la résolution de \(\dfrac{3}{8}x^2=1\,200\) et un calcul de coût.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2009 : Liban. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé des activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : écritures d’un nombre avec des puissances de 10

1. On remplace chaque puissance de 10 par sa valeur : \(10^2=100\), \(10^1=10\), \(10^{-1}=0{,}1\) et \(10^{-2}=0{,}01\).

\[A = 2\times 100 + 10 + 0{,}1 + 2\times 0{,}01 = 200 + 10 + 0{,}1 + 0{,}02\]

L’écriture décimale est donc \(A = 210{,}12\).

2. L’écriture scientifique est de la forme \(a\times 10^n\) avec \(1 \leqslant a \lt 10\). Pour obtenir un nombre entre 1 et 10, on décale la virgule de deux rangs vers la gauche : \(210{,}12 = 2{,}1012 \times 100\). Donc \(A = 2{,}1012\times 10^{2}\).

3. Pour obtenir un entier, on décale cette fois la virgule de deux rangs vers la droite : \(210{,}12 = 21\,012 \div 100\). Donc \(A = 21\,012\times 10^{-2}\).

4. On sépare la partie entière et la partie décimale : \(A = 210 + 0{,}12\). Or \(0{,}12 = \dfrac{12}{100}\), et on simplifie par 4 (\(12 = 4\times 3\) et \(100 = 4\times 25\)) :

\[0{,}12 = \dfrac{12}{100} = \dfrac{3}{25}\]

3 et 25 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible et elle est bien inférieure à 1. Ainsi \(A = 210 + \dfrac{3}{25}\).

À retenir : multiplier par \(10^{n}\) décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite, multiplier par \(10^{-n}\) la décale de \(n\) rangs vers la gauche ; en écriture scientifique, le nombre devant la puissance est compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu).

Corrigé de l’exercice 2 : QCM

1. La série compte 9 valeurs, déjà rangées dans l’ordre croissant. La médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 5^e : elle vaut 12. La moyenne est :

\[\dfrac{7+8+8+12+12+14+15+15+41}{9} = \dfrac{132}{9} \approx 14{,}7\]

Comme \(12 \lt 14{,}7\), la médiane est inférieure à la moyenne (la valeur 41, très éloignée des autres, tire la moyenne vers le haut). Réponse C.

2. Diminuer un prix de 15 %, c’est garder \(100\,\% – 15\,\% = 85\,\%\) du prix, donc le multiplier par \(0{,}85\). Réponse C.

3. Attention à la priorité : le carré porte seulement sur \(x\). \(A = -2\times 3^2 = -2\times 9 = -18\). Réponse B.

4. Ce n’est pas une équation produit : c’est une différence. On supprime les parenthèses (le signe moins devant la deuxième change les signes) :

\[(2x+1)-(x-3) = 2x + 1 – x + 3 = x + 4\]

L’équation devient \(x + 4 = 0\), soit \(x = -4\). Elle a une seule solution, \(-4\). Réponse C.

À retenir : la médiane d’une série de \(n\) valeurs rangées est la valeur centrale ; une baisse de \(t\,\%\) revient à multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\) ; avant de résoudre, regarde bien si l’équation est un produit nul ou une simple somme à réduire.

Corrigé de l’exercice 3 : une expression égale au produit ab

1. Avec \(a = 1\) et \(b = 5\) : \(a+b = 6\) et \(a-b = -4\).

\[A = \dfrac{1}{4}\left[6^2-(-4)^2\right] = \dfrac{1}{4}(36-16) = \dfrac{20}{4} = 5\]

Donc \(A = 5\).

2. Avec \(a = -2\) et \(b = -3\) : \(a+b = -5\) et \(a-b = -2-(-3) = -2+3 = 1\).

\[A = \dfrac{1}{4}\left[(-5)^2-1^2\right] = \dfrac{1}{4}(25-1) = \dfrac{24}{4} = 6\]

Donc \(A = 6\).

3. On remarque que \(1\times 5 = 5\) et \((-2)\times(-3) = 6\) : les deux exemples vont dans le sens d’Alex, mais deux exemples ne suffisent pas à prouver une propriété générale. On développe avec les identités remarquables \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) et \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) :

\[(a+b)^2-(a-b)^2 = a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2 = 4ab\]

Donc \(A = \dfrac{1}{4}\times 4ab = ab\) quels que soient les nombres \(a\) et \(b\). Alex a raison : \(A = ab\).

À retenir : des exemples peuvent faire deviner une propriété, mais seul un calcul littéral la démontre ; quand on retranche un carré développé, on met des parenthèses pour changer tous les signes.

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : un point dans un carré

1. Construction en vraie grandeur :

trace le carré \(ABCD\) de côté 4 cm ;
trace un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon 2,4 cm, puis un arc de cercle de centre \(D\) et de rayon 3,2 cm : leur point d’intersection situé à l’intérieur du carré est \(M\) ;
prolonge le côté \([DC]\) au-delà de \(C\) (c’est la demi-droite \([DC)\)) ;
trace la droite \((AM)\) : elle coupe la demi-droite \([DC)\) en \(I\), un peu au-delà de \(C\) (environ 1,3 cm après \(C\)).

Figure réduite : sur ta copie, les longueurs doivent être exactes.

2. Dans le triangle \(AMD\), le plus long côté est \([AD]\), côté du carré, donc \(AD = 4\). On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres :

\[AD^2 = 4^2 = 16\]

\[AM^2 + DM^2 = 2{,}4^2 + 3{,}2^2 = 5{,}76 + 10{,}24 = 16\]

On a \(AD^2 = AM^2 + DM^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(AMD\) est rectangle en \(M\).

3. Dans le triangle \(AMD\) rectangle en \(M\), l’hypoténuse est \([AD]\) et le côté adjacent à l’angle \(\widehat{DAM}\) est \([AM]\) :

\[\cos\widehat{DAM} = \dfrac{AM}{AD} = \dfrac{2{,}4}{4} = 0{,}6\]

La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou arccos) donne \(\widehat{DAM} \approx 53{,}13^\circ\), soit \(\widehat{DAM} \approx 53^\circ\) au degré près.

4. Le triangle \(ADI\) est rectangle en \(D\) (les côtés \([AD]\) et \([DC]\) du carré sont perpendiculaires). Pour l’angle \(\widehat{DAI}\), le côté opposé est \([DI]\) et le côté adjacent est \([AD]\) :

\[\tan\left(\widehat{DAI}\right) = \dfrac{DI}{AD}\]

Les points \(A\), \(M\) et \(I\) sont alignés, donc \(\widehat{DAI} = \widehat{DAM}\). On en déduit \(DI = AD\times \tan\left(\widehat{DAM}\right) = 4\times\tan\left(\widehat{DAM}\right)\).

Pour éviter l’arrondi, on peut calculer la tangente exacte dans le triangle \(AMD\) : \(\tan\left(\widehat{DAM}\right) = \dfrac{DM}{AM} = \dfrac{3{,}2}{2{,}4} = \dfrac{4}{3}\). Alors :

\[DI = 4\times\dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}333\ \text{cm}\]

(Avec la valeur 53,13° de la calculatrice, on trouve aussi \(4\times\tan 53{,}13^\circ \approx 5{,}33\).) Donc \(DI \approx 5{,}3\) cm au millimètre près.

À retenir : pour prouver qu’un triangle est rectangle, on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres ; en trigonométrie, repère d’abord l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent à l’angle étudié.

Corrigé de l’exercice 2 : la pelote de ficelle

1. Le volume est demandé en cm³, donc on convertit le rayon en cm : \(0{,}5\ \text{mm} = 0{,}05\ \text{cm}\). La hauteur \(h\) est elle aussi exprimée en cm.

\[V = \pi\times r^2\times h = \pi\times 0{,}05^2\times h = \pi\times 0{,}0025\times h\]

On obtient bien \(V = 0{,}0025\times\pi\times h\ \text{cm}^3\).

2. Pour une boule de rayon 30 cm :

\[V = \dfrac{4}{3}\times\pi\times 30^3 = \dfrac{4}{3}\times\pi\times 27\,000 = \dfrac{4\times 27\,000}{3}\times\pi = 36\,000\times\pi\]

Le volume de la pelote est bien \(36\,000\times\pi\ \text{cm}^3\).

3. Comme il n’y a aucun vide dans la pelote, le volume de la ficelle est égal au volume de la boule :

\[0{,}0025\times\pi\times h = 36\,000\times\pi\]

On divise les deux membres par \(\pi\), puis par 0,0025 :

\[h = \dfrac{36\,000}{0{,}0025} = 14\,400\,000\ \text{cm}\]

Or \(1\ \text{km} = 100\,000\ \text{cm}\), donc \(h = 14\,400\,000 \div 100\,000 = 144\ \text{km}\). La ficelle mesure bien 144 km.

4. Il y aurait les 294 pelotes des autres élèves plus celle d’Annie, soit 295 pelotes. Mises bout à bout, elles donnent :

\[295\times 144 = 42\,480\ \text{km}\]

L’équateur est un cercle de rayon 6 400 km environ ; sa longueur est :

\[L = 2\times\pi\times 6\,400 = 12\,800\,\pi \approx 40\,212\ \text{km}\]

Comme \(42\,480 \gt 40\,212\), la ficelle est assez longue (même sans la pelote d’Annie : \(294\times 144 = 42\,336\) km suffisent). Annie a raison.

À retenir : avant d’utiliser une formule de volume, mets toutes les longueurs dans la même unité ; deux solides de même volume permettent d’écrire une équation qui donne la dimension inconnue.

Corrigé du problème

Le terrain est le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) : son aire vaut bien \(\dfrac{AB\times BC}{2} = \dfrac{60\times 80}{2} = 2\,400\) m². Comme \((MN)\) est parallèle à \((AB)\) et que \((AB)\) est perpendiculaire à \((BC)\), la droite \((MN)\) est aussi perpendiculaire à \((BC)\) : le triangle \(CMN\) est rectangle en \(M\).

Corrigé de la partie A : muret placé à 50 m de C

1. Les points \(C\), \(M\), \(B\) sont alignés, les points \(C\), \(N\), \(A\) aussi, et les droites \((MN)\) et \((AB)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{CM}{CB} = \dfrac{CN}{CA} = \dfrac{MN}{AB}\quad\text{soit}\quad \dfrac{50}{80} = \dfrac{MN}{60}\]

Donc \(MN = \dfrac{50\times 60}{80} = \dfrac{3\,000}{80} = 37{,}5\). On a bien \(MN = 37{,}5\) m.

2. Le triangle \(CMN\) est rectangle en \(M\), ses côtés de l’angle droit sont \([CM]\) et \([MN]\) :

\[\text{aire}(CMN) = \dfrac{CM\times MN}{2} = \dfrac{50\times 37{,}5}{2} = 937{,}5\ \text{m}^2\]

Le trapèze \(ANMB\), c’est le terrain privé du triangle \(CMN\) :

\[\text{aire}(ANMB) = 2\,400 – 937{,}5 = 1\,462{,}5\ \text{m}^2\]

(On peut vérifier avec la formule du trapèze : \(\dfrac{(AB+MN)\times BM}{2} = \dfrac{(60+37{,}5)\times 30}{2} = 1\,462{,}5\).) Le triangle \(CMN\) (937,5 m²) est plus petit que le trapèze \(ANMB\) (1 462,5 m²).

3. Avec \(CM = 50\), la parcelle triangulaire est trop petite. Plus on éloigne \(M\) de \(C\), plus le triangle \(CMN\) s’agrandit et plus le trapèze rétrécit. Il faut donc placer \(M\) à plus de 50 m de \(C\).

À retenir : deux droites parallèles coupées par deux sécantes issues d’un même point donnent des longueurs proportionnelles (Thalès) ; l’aire d’un trapèze s’obtient souvent plus vite par différence d’aires.

Corrigé de la partie B : la position exacte du muret

1. Même configuration de Thalès qu’en partie A, avec \(CM = x\) :

\[\dfrac{CM}{CB} = \dfrac{MN}{AB}\quad\text{soit}\quad \dfrac{x}{80} = \dfrac{MN}{60}\]

Donc \(MN = \dfrac{60\,x}{80} = \dfrac{3}{4}x\). On a bien \(MN = \dfrac{3}{4}x\).

2. Le triangle \(CNM\) est rectangle en \(M\) :

\[\text{aire}(CNM) = \dfrac{CM\times MN}{2} = \dfrac{x\times\dfrac{3}{4}x}{2} = \dfrac{3}{4}x^2\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}x^2\]

L’aire vaut bien \(\dfrac{3}{8}x^2\) m².

3. a. Les deux parcelles ont la même aire quand le triangle mesure 1 200 m². On cherche donc l’antécédent de 1 200 par \(f\) : on part de 1 200 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la courbe, puis on descend verticalement jusqu’à l’axe des abscisses.

On lit \(x \approx 57\) : il faut placer \(M\) à environ 57 m de \(C\).

b. On résout l’équation \(f(x) = 1\,200\) :

\[\dfrac{3}{8}x^2 = 1\,200\]

\[x^2 = 1\,200\times\dfrac{8}{3} = 400\times 8 = 3\,200\]

Comme \(x\) est une longueur, il est positif : \(x = \sqrt{3\,200}\). On simplifie : \(3\,200 = 1\,600\times 2\), donc \(\sqrt{3\,200} = \sqrt{1\,600}\times\sqrt{2} = 40\sqrt{2}\).

La valeur exacte est \(x = 40\sqrt{2}\) m, soit environ 56,6 m, ce qui confirme la lecture graphique.

c. D’après la question 1 :

\[MN = \dfrac{3}{4}\times 40\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \approx 42{,}426\]

Le muret mesure exactement \(30\sqrt{2}\) m, soit environ 42,4 m au décimètre près.

À retenir : lire un antécédent sur une courbe, c’est partir de l’axe des ordonnées ; pour résoudre \(x^2 = k\) avec \(k\) positif et \(x\) une longueur, on garde seulement \(x = \sqrt{k}\).

Corrigé de la partie C : le coût du muret

1. On travaille en mètres : une briquette mesure 0,20 m de long et 0,10 m de haut.

sur la longueur : \(42{,}40 \div 0{,}20 = 212\) briquettes par rangée ;
sur la hauteur : \(1 \div 0{,}10 = 10\) rangées.

Il faut donc \(212\times 10 = 2\,120\) briquettes. Il faut 2 120 briquettes.

2. Les briquettes sont vendues par lots de 20 à 35 € : \(2\,120 \div 20 = 106\) lots.

\[106\times 35 = 3\,710\]

Le muret coûte 3 710 €.

À retenir : pour compter des éléments posés en rangées, on calcule le nombre par rangée et le nombre de rangées, puis on multiplie, en ayant d’abord tout converti dans la même unité.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2009 : Liban.

Les autres corrigés du brevet 2009

Tous les sujets classés par année : brevet de maths.

Voter.. post

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2009 : Liban» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Maths PDF c'est 16 201 018 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.