Corrigé du brevet de maths 2011 : Centres étrangers
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2011 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé étrangers 2011
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé étrangers 2011 est découpé en 10 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Racines carrées et priorités » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Vitesse d’Ariane 5 » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Angle droit des murs » (exercice 1 de géométrie). En outre, la correction reprend « Boule de glace et cône » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Couture de la voile (Thalès) » (exercice 3 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Déplacement des étagères » (partie 1). Par ailleurs, le corrigé explique « Tarifs du logiciel » (partie 2). En outre, la correction reprend « Moyenne et médiane des emprunts » (partie 3). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Tirage d’un livre » (partie 4).
Ainsi, le corrigé corrigé étrangers 2011 te fait revoir les équations, les racines carrées, les puissances de 10, le théorème de Pythagore et les pyramides et les cônes, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé étrangers 2011)
Corrigé de l’exercice 1 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe chaque morceau séparément. L’identité remarquable \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) donne :
\[(x-3)^2 = x^2 – 6x + 9\]
La double distributivité donne :
\[(x-3)(1-2x) = x – 2x^2 – 3 + 6x = -2x^2 + 7x – 3\]
On additionne et on regroupe les termes de même degré :
\[A = x^2 – 6x + 9 – 2x^2 + 7x – 3\]
Donc \(A = -x^2 + x + 6\).
2. Deux méthodes possibles. La plus directe : repérer le facteur commun \((x-3)\), présent dans les deux termes puisque \((x-3)^2 = (x-3)(x-3)\).
\[A = (x-3)\big[(x-3) + (1-2x)\big] = (x-3)(x – 3 + 1 – 2x)\]
Dans le crochet, \(x – 2x = -x\) et \(-3 + 1 = -2\), donc \(A = (x-3)(-x-2)\).
Contrôle : en développant \((x-3)(-x-2) = -x^2 – 2x + 3x + 6 = -x^2 + x + 6\), on retrouve bien le résultat de la question 1.
3. Ensuite, on utilise la forme factorisée : \((x-3)(-x-2) = 0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
Soit \(x – 3 = 0\), c’est-à-dire \(x = 3\) ; soit \(-x – 2 = 0\), c’est-à-dire \(x = -2\).
L’équation a deux solutions : \(-2\) et \(3\).
Corrigé de l’exercice 2 : racines carrées et priorités opératoires
1. a. L’idée est de faire apparaître un carré parfait sous chaque racine, puis d’utiliser \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) pour des nombres positifs.
\[\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\]
\[5\sqrt{12} = 5\sqrt{4 \times 3} = 5 \times 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\]
\[\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}\]
On regroupe : \(B = 3\sqrt{3} + 10\sqrt{3} – 10\sqrt{3} = (3 + 10 – 10)\sqrt{3}\), donc \(B = 3\sqrt{3}\) : Sophie a raison.
b. Le raisonnement d’Éric ne prouve rien. Une calculatrice n’affiche qu’une valeur approchée (ici 10 chiffres) : deux nombres différents peuvent avoir le même affichage s’ils ne diffèrent qu’à partir de la 11e décimale. L’égalité des écrans rend le résultat de Sophie plausible, mais seule la démonstration de la question a établit l’égalité exacte.
2. Dans le numérateur, la multiplication est prioritaire sur la soustraction : on calcule d’abord \(9 \times 2 = 18\).
\[C = \dfrac{10 – 18}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4\]
C’est Éric qui a raison : \(C = -4\). Sophie a fait la soustraction en premier, comme si l’on avait écrit \(\dfrac{(10-9) \times 2}{2} = 1\).
Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2011) : vitesse d’Ariane 5 et puissances de 10
1. On convertit d’abord la distance en mètres : 70 km = 70 000 m. La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée :
\[v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{70\,000}{132} \approx 530{,}3\ \text{m/s}\]
Pour passer en km/h : en 1 heure, soit 3 600 s, la fusée parcourt 3 600 fois plus, et 1 000 m font 1 km. On multiplie donc par \(\dfrac{3\,600}{1\,000} = 3{,}6\) :
\[\dfrac{70\,000}{132} \times 3{,}6 \approx 1\,909{,}1\ \text{km/h}\]
La vitesse moyenne vaut environ 530 m/s, soit environ 1 909 km/h.
2. a. Les deux nombres ont la même puissance de 10, on peut donc la mettre en facteur :
\[r + h = 6{,}4 \times 10^6 + 1{,}9 \times 10^6 = (6{,}4 + 1{,}9) \times 10^6\]
Donc \(r + h = 8{,}3 \times 10^6\) m, soit 8 300 000 m.
b. Puis on remplace dans la formule avec \(M = 6 \times 10^{24}\) :
\[v = \sqrt{\dfrac{13{,}4 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{8{,}3 \times 10^6}}\]
Au numérateur : \(13{,}4 \times 6 = 80{,}4\) et \(10^{-11} \times 10^{24} = 10^{13}\). On divise ensuite par \(8{,}3 \times 10^6\) :
\[\dfrac{80{,}4 \times 10^{13}}{8{,}3 \times 10^6} = \dfrac{80{,}4}{8{,}3} \times 10^{7} \approx 96\,867\,470\]
Il reste à prendre la racine carrée : \(v \approx 9\,842{,}1\) m/s. Arrondie au m/s, la vitesse est \(v \approx 9\,842\) m/s, soit \(9{,}842 \times 10^3\) m/s en notation scientifique.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : l’angle droit des murs
Tout d’abord, on travaille dans le triangle AOB, en mètres : OA = 0,6 m, OB = 0,8 m et AB = 1 m. Le plus long côté est [AB].
D’une part : \(AB^2 = 1^2 = 1\).
D’autre part : \(OA^2 + OB^2 = 0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\).
Alors on constate que \(AB^2 = OA^2 + OB^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AOB est rectangle en O, le sommet opposé à [AB]. Les droites (OA) et (OB), qui portent les deux murs, sont donc perpendiculaires : les murs sont bien perpendiculaires.
Corrigé de l’exercice 2 (étrangers 2011) : boule de glace ou cône rempli ?
1. La figure donne le diamètre de la boule : 6 cm. Son rayon est donc \(R = 3\) cm.
\[V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = \dfrac{4 \times 27}{3}\pi = 36\pi\]
Le volume exact de la boule est \(36\pi\ \text{cm}^3\), soit environ \(113{,}1\ \text{cm}^3\).
2. Le cône a pour hauteur \(h = 12\) cm et sa base (l’ouverture du cornet) a pour diamètre 5,4 cm, donc pour rayon \(R = 2{,}7\) cm. Attention à ne pas oublier le carré du rayon :
\[V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 2{,}7^2 \times 12 = \dfrac{1}{3}\pi \times 7{,}29 \times 12 = 29{,}16\pi\]
Le volume exact du cône est \(29{,}16\pi\ \text{cm}^3\), soit environ \(91{,}6\ \text{cm}^3\).
3. Ensuite, on compare : \(36\pi \gt 29{,}16\pi\). La boule contient donc plus de glace que le cône rempli à ras bord (environ 21,5 cm³ de plus). Remplir le cône n’est pas plus intéressant : Michel a davantage de glace avec la boule.
Corrigé de l’exercice 3 : la couture de la voile
1. a. Dans le triangle PMW, le point C est sur le segment [PM], le point T est sur le segment [PW], et on suppose (CT) parallèle à (MW). Le théorème de Thalès donne l’égalité des rapports :
\[\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}\]
Puis on utilise le premier et le dernier rapport, avec PC = 3,78 m, PM = 4,20 m et MW = 3,40 m :
\[\dfrac{3{,}78}{4{,}20} = \dfrac{CT}{3{,}40} \quad \text{donc} \quad CT = \dfrac{3{,}78 \times 3{,}40}{4{,}20} = 3{,}06\]
La couture mesurera 3,06 m.
b. Il faut deux fois la longueur de la couture : \(2 \times 3{,}06 = 6{,}12\) m. Comme \(6{,}12 \lt 7\), 7 mètres de fil suffiront (il en restera 0,88 m).
2. Les points P, C, M d’une part et P, T, W d’autre part sont alignés dans le même ordre. Ensuite, on calcule séparément les deux rapports :
\[\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{3{,}78}{4{,}20} = 0{,}9 \qquad \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{1{,}88}{2{,}30} \approx 0{,}817\]
Les deux rapports ne sont pas égaux (on peut aussi le voir avec les produits en croix : \(3{,}78 \times 2{,}30 = 8{,}694\) alors que \(4{,}20 \times 1{,}88 = 7{,}896\)). Or, si (CT) était parallèle à (MW), le théorème de Thalès imposerait cette égalité. La couture n’est donc pas parallèle à (MW).
Problème
Corrigé de la partie 1 (étrangers 2011) : déplacer les étagères
1. Les étagères sont déplacées de 1 m, donc CG = CF = 1 m. Le triangle GCF est rectangle en C ; d’après le théorème de Pythagore :
\[GF^2 = CG^2 + CF^2 = 1^2 + 1^2 = 2\]
Donc \(GF = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) m.
2. Appelons \(d\) la distance (en mètres) dont on déplace les étagères. Alors CG = CF = \(d\), et Pythagore dans le triangle GCF rectangle en C donne :
\[GF^2 = d^2 + d^2 = 2d^2\]
On veut GF = 1 m, donc \(2d^2 = 1\), soit \(d^2 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\). Comme \(d\) est une longueur, elle est positive :
\[d = \sqrt{0{,}5} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\]
Il faut déplacer les étagères d’environ 0,71 m, soit environ 71 cm.
Autre façon de voir : dans un triangle rectangle isocèle, l’hypoténuse vaut \(\sqrt{2}\) fois un côté de l’angle droit. Pour une hypoténuse de 1 m, le côté vaut donc \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71\) m.
Corrigé de la partie 2 : comparer les tarifs du logiciel
1. Le débit est la quantité de données transférée par seconde :
\[\text{débit} = \dfrac{3{,}5\ \text{Mo}}{7\ \text{s}} = 0{,}5\ \text{Mo/s}\]
Le débit de la connexion est de 0,5 Mo/s.
2. Tarif A : 19 € quel que soit le nombre d’élèves. Tarif B : \(0{,}10 \times\) nombre d’élèves. De même, tarif C : \(8 + 0{,}05 \times\) nombre d’élèves. Par exemple pour 100 élèves au tarif C : \(8 + 0{,}05 \times 100 = 8 + 5 = 13\) €.
| Nombre d’élèves | 100 | 200 | 300 |
|---|---|---|---|
| Tarif A | 19,00 € | 19,00 € | 19,00 € |
| Tarif B | 10,00 € | 20,00 € | 30,00 € |
| Tarif C | 13,00 € | 18,00 € | 23,00 € |
3. a. Au tarif C, on paie 8 € fixes, plus 5 centimes, c’est-à-dire 0,05 €, par élève. Pour \(x\) élèves, cela fait \(8 + 0{,}05x\) euros. La bonne fonction est \(x \longmapsto 8 + 0{,}05x\). (La première compterait 5 € par élève, la troisième 8 € par élève.)
b. Elle est de la forme \(x \longmapsto ax + b\) avec \(a = 0{,}05\) et \(b = 8\) : c’est une fonction affine (non linéaire, car \(b \neq 0\)).
4. Sur l’annexe :
- le tarif A est constant : c’est la droite horizontale d’équation \(y = 19\) ;
- le tarif C est représenté par une droite (fonction affine). Deux points suffisent, pris dans le tableau : (0 ; 8) et (300 ; 23). Puis on peut contrôler avec (200 ; 18).
5. Le tarif A est plus intéressant que le tarif C quand la droite verte (A) est en dessous de la droite rouge (C). Les deux droites se coupent au point d’abscisse 220 (on trace les pointillés verticaux depuis ce point d’intersection jusqu’à l’axe des abscisses). Vérification par le calcul : \(8 + 0{,}05 \times 220 = 8 + 11 = 19\). À partir de 220 élèves (les deux tarifs sont égaux à 220 et A devient moins cher au-delà), le tarif A est plus intéressant que le tarif C.
6. Pour 209 élèves, on calcule les trois prix :
- tarif A : 19 € ;
- tarif B : \(0{,}10 \times 209 = 20{,}90\) € ;
- tarif C : \(8 + 0{,}05 \times 209 = 8 + 10{,}45 = 18{,}45\) €.
Le prix le plus bas est 18,45 € : le tarif C est le plus intéressant pour l’école. On le voit aussi sur le graphique : à l’abscisse 209, la droite rouge est la plus basse.
Corrigé de la partie 3 : statistiques des emprunts
1. La moyenne d’une série donnée par un tableau d’effectifs est une moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l’effectif total.
Effectif total : \(39 + 30 + 36 + 23 + 20 + 22 + 18 + 10 + 11 = 209\) élèves.
Nombre total d’emprunts :
\[0 \times 39 + 1 \times 30 + 2 \times 36 + 3 \times 23 + 4 \times 20 + 5 \times 22 + 6 \times 18 + 7 \times 10 + 8 \times 11\]
\[= 0 + 30 + 72 + 69 + 80 + 110 + 108 + 70 + 88 = 627\]
\[\text{moyenne} = \dfrac{627}{209} = 3\]
Le nombre moyen d’emprunts est de 3 emprunts par élève.
2. Il y a 209 valeurs, un nombre impair. La médiane est la valeur du milieu, celle de rang \(\dfrac{209 + 1}{2} = 105\) lorsque les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant. Alors on calcule les effectifs cumulés croissants :
| Nombre d’emprunts | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif cumulé croissant | 39 | 69 | 105 | 128 | 148 | 170 | 188 | 198 | 209 |
Les valeurs de rang 70 à 105 sont égales à 2, donc la 105e valeur vaut 2. La médiane est 2 emprunts : au moins la moitié des élèves ont emprunté 2 livres ou moins, et au moins la moitié 2 livres ou plus.
Corrigé de la partie 4 : tirer un livre au hasard
1. Le colis contient \(3 + 2 = 5\) livres, et le tirage se fait au hasard : chaque livre a la même chance d’être sorti (situation d’équiprobabilité). Trois issues sur cinq sont favorables :
\[P(\text{bande dessinée}) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\]
La probabilité est \(\dfrac{3}{5}\).
2. Le premier livre sorti est un album et il n’a pas été remis dans le colis. Il reste 4 livres : les 3 bandes dessinées et 1 album. Le nouveau tirage est lui aussi équiprobable :
\[P(\text{bande dessinée}) = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\]
La probabilité est \(\dfrac{3}{4}\) : elle a augmenté puisqu’un album a quitté le colis.
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Comment utiliser le corrigé corrigé étrangers 2011
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Pour les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant aux puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de équation du premier degré, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé étrangers 2011, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé étrangers 2011
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2011 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2011. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les équations, les racines carrées, les puissances de 10 et le théorème de Pythagore. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé étrangers 2011
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
Les autres corrigés du brevet 2011
- Corrigé du brevet de maths 2011 : France
- Corrigé du brevet de maths 2011 : France, septembre
- De même, corrigé du brevet de maths 2011 : Amérique du Nord
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
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