Corrigé du brevet de maths 2008 : Centres étrangers
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2008 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé étrangers 2008
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers 2008 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et écriture scientifique » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Le nombre caché » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Prix des DVD et des CD » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « QCM racines et équations » (exercice 4). En outre, le corrigé explique « Thalès et réciproque » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, la correction reprend « Triangle SKI et cercle circonscrit » (exercice 2 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Tarifs du cybercafé » (problème).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers 2008 sont les fractions, les puissances de 10, les systèmes d’équations, le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé étrangers 2008)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions et écriture scientifique
1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : on commence par le produit, que l’on simplifie tout de suite.
\[\dfrac{7}{5} \times \dfrac{10}{4} = \dfrac{7 \times 10}{5 \times 4} = \dfrac{70}{20} = \dfrac{7}{2}\]
On réduit ensuite au même dénominateur 10 :
\[A = \dfrac{4}{5} – \dfrac{7}{2} = \dfrac{8}{10} – \dfrac{35}{10} = -\dfrac{27}{10}\]
27 et 10 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 (\(27 = 3^3\) et \(10 = 2 \times 5\)), donc la fraction est irréductible : \(A = -\dfrac{27}{10} = -2{,}7\).
2. On regroupe les nombres « ordinaires » d’un côté et les puissances de 10 de l’autre. De même, on utilise \(\left(10^2\right)^6 = 10^{2 \times 6} = 10^{12}\), puis \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}\) et \(\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\).
\[B = \dfrac{3 \times 5}{25} \times \dfrac{10^{-4} \times 10^{12}}{10^{-2}} = \dfrac{15}{25} \times \dfrac{10^{8}}{10^{-2}} = 0{,}6 \times 10^{10}\]
Ce n’est pas encore une écriture scientifique, car 0,6 n’est pas compris entre 1 et 10. Comme \(0{,}6 = 6 \times 10^{-1}\), on obtient \(B = 6 \times 10^{9}\).
Corrigé de l’exercice 2 : le nombre caché
Traduisons les indices. « Pair » veut dire divisible par 2. Le nombre est donc divisible par 2, 3, 5 et 11.
Ces quatre nombres sont premiers et tous différents : un nombre divisible par chacun d’eux est divisible par leur produit \(2 \times 3 \times 5 \times 11 = 330\). Le nombre caché est donc un multiple de 330.
Les multiples de 330 sont 0, 330, 660, … Un seul est compris entre 100 et 400 : 330.
Vérification : \(330 = 2 \times 165 = 3 \times 110 = 5 \times 66 = 11 \times 30\). Le nombre caché est 330.
Autre démarche possible : lister les multiples de 11 pairs entre 100 et 400 (110, 132, 154, …) et ne garder que ceux qui finissent par 0 (divisibles par 2 et 5) : 110, 220, 330. Parmi eux, seul 330 a une somme de chiffres (3 + 3 + 0 = 6) divisible par 3.
Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2008) : système et prix des DVD et CD
1. D’abord, on utilise la méthode par substitution. La seconde équation permet d’isoler \(x\) facilement : \(x = 26 – 2y\).
Ensuite, on remplace \(x\) par \(26 – 2y\) dans la première équation :
\[5(26 – 2y) + 4y = 88 \quad \text{donc} \quad 130 – 10y + 4y = 88 \quad \text{donc} \quad -6y = -42\]
d’où \(y = 7\), puis \(x = 26 – 2 \times 7 = 12\).
Vérification : \(5 \times 12 + 4 \times 7 = 60 + 28 = 88\) et \(12 + 2 \times 7 = 26\). Le système a pour solution le couple \((x ; y) = (12 ; 7)\).
2. Puis on note \(x\) le prix d’un DVD et \(y\) le prix d’un CD, en euros.
L’achat de Paul se traduit par \(5x + 4y = 88\) et celui de Louis par \(x + 2y = 26\). On retrouve exactement le système de la question 1, dont la solution est \(x = 12\) et \(y = 7\).
Un DVD coûte 12 € et un CD coûte 7 €.
Corrigé de l’exercice 4 : QCM
Aucune justification n’est demandée, mais voici pourquoi chaque réponse est la bonne.
1. \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Réponse C : \(4\sqrt{2}\).
2. On calcule d’abord sous la racine : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Attention, \(\sqrt{9 + 16}\) n’est pas égal à \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\). Réponse B : 5.
3. C’est l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)\) avec \(a = x\) et \(b = 10\). Réponse A : \((x + 10)(x – 10)\).
4. Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : \(x – 4 = 0\) donne \(x = 4\) ; \(2x + 5 = 0\) donne \(x = -\dfrac{5}{2}\). Réponse C : 4 et \(-\dfrac{5}{2}\).
5. Avec \(x = \sqrt{5}\), on a \(x^2 = 5\), donc \(x^2 + 3x – 1 = 5 + 3\sqrt{5} – 1 = 4 + 3\sqrt{5}\). Réponse A : \(4 + 3\sqrt{5}\).
6. Si le côté \(c\) devient \(3c\), l’aire devient \((3c)^2 = 9c^2 = 3^2 \times c^2\). Réponse B : \(3^2\).
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2008) : Thalès et sa réciproque
1. Les points E, A, C sont alignés, ainsi que les points D, A, B, et les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Le théorème de Thalès dans les triangles AED et ACB (configuration « papillon ») donne :
\[\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{ED}{CB}\]
On utilise la première égalité : \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{AD}{8}\), d’où \(AD = \dfrac{4 \times 8}{6} = \dfrac{32}{6} = \dfrac{16}{3}\).
\(AD = \dfrac{16}{3}\) cm, soit environ 5,3 cm au dixième près.
2. Alors on se place cette fois dans les triangles CAB et CEF, de sommet commun C. Les points C, A, E sont alignés dans cet ordre, de même que C, B, F.
Ensuite, on a \(CE = CA + AE = 6 + 4 = 10\) et \(CF = CB + BF = 9 + 6 = 15\). On compare les deux rapports :
\[\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \dfrac{CB}{CF} = \dfrac{9}{15} = 0{,}6\]
Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (EF) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 2 : triangle rectangle et cercle circonscrit
1. Construction pas à pas : trace le segment [IK] de 10,4 cm et marque son milieu O. Trace le cercle de centre O et de rayon 5,2 cm (de diamètre [IK]). Avec le compas, trace un arc de centre K et de rayon 9,6 cm : il coupe le cercle en S. Tout point du cercle de diamètre [IK] forme avec I et K un triangle rectangle, donc SKI est bien rectangle en S. (Autre méthode : tracer [SK] de 9,6 cm, la perpendiculaire à (SK) en S, puis l’arc de centre K de rayon 10,4 cm qui coupe cette perpendiculaire en I.)
![Triangle SKI rectangle en S avec SK = 9,6 cm, SI = 4 cm, IK = 10,4 cm, inscrit dans le cercle de centre O milieu de [IK] ; le rayon [OS] est tracé en pointillés](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2008-centres-etrangers/gen-triangle-ski-cercle.webp)
2. Le triangle SKI est rectangle en S, d’hypoténuse [KI]. Le théorème de Pythagore donne :
\[KI^2 = SK^2 + SI^2 \quad \text{donc} \quad SI^2 = 10{,}4^2 – 9{,}6^2 = 108{,}16 – 92{,}16 = 16\]
Une longueur est positive, donc \(SI = \sqrt{16} = 4\) cm.
3. Dans le triangle SKI rectangle en S, le côté adjacent à l’angle \(\widehat{SKI}\) est [SK] et l’hypoténuse est [KI] :
\[\cos \widehat{SKI} = \dfrac{SK}{KI} = \dfrac{9{,}6}{10{,}4}\]
La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{SKI} \approx 22{,}6^\circ\), donc \(\widehat{SKI} \approx 23^\circ\) au degré près. On peut aussi utiliser \(\sin \widehat{SKI} = \dfrac{SI}{KI} = \dfrac{4}{10{,}4}\), qui donne la même valeur.
4. La somme des angles d’un triangle vaut 180° et l’angle en S est droit, donc les deux angles aigus sont complémentaires :
\[\widehat{SIK} = 90^\circ – \widehat{SKI} \approx 90^\circ – 22{,}6^\circ = 67{,}4^\circ\]
\(\widehat{SIK} \approx 67^\circ\) au degré près.
5. a. Propriété : si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse. O est le milieu de [KI], et le rayon du cercle vaut \(10{,}4 \div 2 = 5{,}2\) cm.
b. Puis on place O au milieu de [KI] et on trace le cercle de centre O de rayon 5,2 cm, qui passe par S, I et K (voir la figure ci-dessus).
Pour l’angle \(\widehat{SOI}\), on remarque que \(OS = OI = 5{,}2\) cm (deux rayons) : le triangle SOI est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{OSI} = \widehat{OIS} = \widehat{SIK} \approx 67{,}4^\circ\) (car O est sur [IK]). Donc :
\[\widehat{SOI} = 180^\circ – 2 \times \widehat{SIK} \approx 180^\circ – 2 \times 67{,}4^\circ \approx 45{,}2^\circ\]
Ensuite, on retrouve ce résultat avec l’angle au centre : \(\widehat{SOI}\) et l’angle inscrit \(\widehat{SKI}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{SI}\), donc \(\widehat{SOI} = 2 \times \widehat{SKI} \approx 2 \times 22{,}6^\circ \approx 45{,}2^\circ\).
\(\widehat{SOI} \approx 45^\circ\) au degré près. Attention : si on double la valeur déjà arrondie 23°, on obtient 46°, qui est faux au degré près. Puis on arrondit seulement à la fin.
Problème
Corrigé du problème : les trois tarifs du cybercafé
1. Avec le tarif A, on paie 25 € quel que soit le temps. Avec le tarif B, on multiplie le nombre d’heures par 1,50 €. De même, avec le tarif C, on ajoute 14 € d’abonnement à 0,50 € par heure. Par exemple pour 18 heures : \(1{,}5 \times 18 = 27\) € (tarif B) et \(14 + 0{,}5 \times 18 = 23\) € (tarif C).
| Nombre d’heures de connexion par mois | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 6 heures | 18 heures | 24 heures | \(x\) heures | ||
| Prix (en €) | Tarif A | 25 | 25 | 25 | 25 |
| Tarif B | 9 | 27 | 36 | \(1{,}5x\) | |
| Tarif C | 17 | 23 | 26 | \(0{,}5x + 14\) | |
2. Les trois fonctions correspondent aux trois tarifs (colonne « \(x\) heures » du tableau).
- \(f(x) = 25\) est une fonction constante : sa représentation est la droite horizontale d’ordonnée 25.
- \(g(x) = 1{,}5x\) est linéaire : sa représentation est une droite passant par l’origine, et par exemple par le point (18 ; 27).
- \(h(x) = 0{,}5x + 14\) est affine : sa représentation est une droite passant par (0 ; 14) et, par exemple, par (24 ; 26).
Les points du tableau de la question 1 permettent de vérifier le tracé.
3. On trace la verticale d’abscisse 8 jusqu’aux trois droites, puis on lit les ordonnées : environ 12 € pour B, 18 € pour C et 25 € pour A. La droite la plus basse à cet endroit est celle de B. Pour 8 heures, le tarif B est le plus intéressant (12 €).
4. a. Alors on trace l’horizontale d’ordonnée 24 et on regarde où elle coupe chaque droite. Elle ne rencontre jamais la droite de A (toujours à 25 €) : avec 24 €, le tarif A est inaccessible. Elle coupe la droite de B à l’abscisse 16 et celle de C à l’abscisse 20. Le tarif C lui permet de se connecter le plus longtemps, 20 heures.
b. Par le calcul :
- tarif A : 25 € est plus que 24 €, donc impossible ;
- tarif B : \(1{,}5x = 24\) donne \(x = 24 \div 1{,}5 = 16\) heures ;
- tarif C : \(0{,}5x + 14 = 24\) donne \(0{,}5x = 10\), donc \(x = 20\) heures.
Comme 20 est plus grand que 16, le tarif C est le meilleur choix : 20 heures de connexion, ce qui confirme la lecture graphique.
5. Ensuite, on regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :
\[1{,}5x – 0{,}5x = 14 \quad \text{donc} \quad x = 14\]
La solution est \(x = 14\). Interprétation : pour 14 heures de connexion, les tarifs B et C coûtent la même somme, \(1{,}5 \times 14 = 21\) € (et \(0{,}5 \times 14 + 14 = 21\) €). C’est l’abscisse du point d’intersection des droites de B et de C. En dessous de 14 heures, le tarif B est moins cher que C ; au-delà, c’est le tarif C.
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Comment utiliser le corrigé corrigé étrangers 2008
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les systèmes d’équations, remplace ensuite les valeurs trouvées dans chaque équation, car ce contrôle rapide évite de perdre des points. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé étrangers 2008 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers 2008
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2008 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2008. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les systèmes d’équations et le théorème de Thalès. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers 2008
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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