Corrigé du brevet de maths 2008 : France

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2008 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé brevet 2008

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé brevet 2008 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Programme de calcul » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Tester une solution » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Fractions sur une droite graduée » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Vernis et cire » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « QCM de géométrie » (exercice 4 de la partie numérique).

Ensuite, la correction reprend « Thalès et Pythagore » (activités géométriques). Puis tu lis la démarche complète pour « Lecture des courbes de poids » (exercice 1 de géométrie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Formule du poids idéal » (exercice 2 de géométrie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé brevet 2008 sont les équations, les fractions, les systèmes d’équations, le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé brevet 2008)

Corrigé de l’exercice 1 : programme de calcul

1. On applique les étapes au nombre 10 : \(10\times3=30\), puis on ajoute le carré de 10 : \(30+10^2=30+100=130\), enfin on multiplie par 2 : \(130\times2=260\). Ensuite, on obtient bien 260.

2. Puis on refait le programme avec chaque nombre, en gardant des valeurs exactes.

• Avec \(-5\) : \(-5\times3=-15\) ; \(-15+(-5)^2=-15+25=10\) ; \(10\times2=20\). Attention, le carré de \(-5\) est positif : \((-5)^2=25\).
• Avec \(\dfrac{2}{3}\) : \(\dfrac{2}{3}\times3=2\) ; \(2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=2+\dfrac{4}{9}=\dfrac{18}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{22}{9}\) ; \(\dfrac{22}{9}\times2=\dfrac{44}{9}\).
• De même, avec \(\sqrt{5}\) : \(\sqrt{5}\times3=3\sqrt{5}\) ; \(3\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2=3\sqrt{5}+5\) ; \(2\left(3\sqrt{5}+5\right)=6\sqrt{5}+10\).

Les résultats sont 20, \(\dfrac{44}{9}\) et \(10+6\sqrt{5}\).

3. Appelons \(x\) le nombre choisi. Le programme donne successivement \(3x\), puis \(3x+x^2\), puis \(2(3x+x^2)\). On veut que ce résultat soit nul. Alors on factorise \(3x+x^2\) par \(x\) :

\[2(3x+x^2)=2x(3+x).\]

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(2x=0\) donne \(x=0\), et \(3+x=0\) donne \(x=-3\).

Vérification avec \(-3\) : \(-9\), puis \(-9+9=0\), puis \(0\times2=0\). Ensuite, on peut choisir 0 ou \(-3\).

Corrigé de l’exercice 2 : tester une solution

Pour savoir si 2 est solution, on remplace \(a\) par 2 dans le membre de gauche et on regarde si l’on trouve 1 :

\[2\times2^2-3\times2-5=2\times4-6-5=8-11=-3.\]

Or \(-3\neq1\). Le nombre 2 n’est pas solution de l’équation \(2a^2-3a-5=1\).

Corrigé de l’exercice 3 (brevet 2008) : fractions sur une droite graduée

Les points sont régulièrement espacés si la distance de A à B est égale à la distance de B à C. Puis on met les trois fractions au même dénominateur 12 : \(\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}\), \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}\) et \(\dfrac{5}{12}\).

\[\text{AB}=\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{12}\qquad \text{BC}=\dfrac{5}{12}-\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{12}.\]

Les deux écarts sont égaux (et B est bien entre A et C, car \(\dfrac{3}{12}\lt \dfrac{4}{12}\lt \dfrac{5}{12}\)). Oui, les points A, B et C sont régulièrement espacés : ils se suivent tous les \(\dfrac{1}{12}\) d’unité.

Corrigé de l’exercice 4 : vernis et cire

Notons \(v\) le prix en euros d’un kilogramme de vernis et \(c\) le prix en euros d’un litre de cire. Les deux achats se traduisent par le système :

\[6v+4c=95\qquad \text{et}\qquad 3v+3c=55{,}5.\]

On divise la deuxième équation par 3 : \(v+c=18{,}5\), donc \(c=18{,}5-v\).

Ensuite, on remplace \(c\) dans la première équation :

\[6v+4(18{,}5-v)=95\]

\[6v+74-4v=95\]

\[2v=21\qquad \text{donc}\qquad v=10{,}5.\]

Puis \(c=18{,}5-10{,}5=8\).

Vérification : \(6\times10{,}5+4\times8=63+32=95\) et \(3\times10{,}5+3\times8=31{,}5+24=55{,}5\). Les deux égalités sont vraies. Le kilogramme de vernis coûte 10,50 € et le litre de cire coûte 8 €.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : QCM de géométrie

1. Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AD] et [BC] sont opposés : ils sont parallèles, de même longueur, et on les parcourt dans le même sens en allant de A vers D et de B vers C. Donc \(\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{BC}}\). Attention : \(\overrightarrow{\text{AB}}\) est égal à \(\overrightarrow{\text{DC}}\), pas à \(\overrightarrow{\text{CD}}\), qui est de sens contraire. Réponse : proposition 3, \(\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{BC}}\).

2. Le volume d’un cylindre est l’aire de la base multipliée par la hauteur : \(V=\pi r^2h=\pi\times3^2\times6=\pi\times9\times6=54\pi\ \text{cm}^3\). Réponse : proposition 2, \(54\pi\).

3. Un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc : \(34\div2=17\). Réponse : proposition 2, 17°.

4. La base ABCD est un carré. Dans ce carré, le triangle ABC a un angle droit en B et deux côtés égaux AB = BC. La perspective déforme les angles et les longueurs, mais en réalité ce triangle est rectangle et isocèle en B. Réponse : proposition 2, rectangle et isocèle.

Corrigé de l’exercice 2 (brevet 2008) : Thalès, réciproque et Pythagore

1. Les points A, E, B sont alignés, les points A, F, C sont alignés, et les droites (EF) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AEF et ABC :

\[\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AF}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{EF}}{\text{BC}}.\]

On utilise l’égalité qui contient les longueurs connues et BC : \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{4{,}8}{\text{BC}}\), d’où par produit en croix \(\text{BC}=\dfrac{4{,}8\times5}{3}=\dfrac{24}{3}=8\). Puis on a bien BC = 8.

Au passage, la même égalité donne \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{\text{AF}}{6{,}5}\), donc \(\text{AF}=\dfrac{3\times6{,}5}{5}=3{,}9\). Cette longueur sert pour la construction.

2. Construction en vraie grandeur (unité : le centimètre) :

• trace le segment [BC] de 8 cm ;
• au compas, trace un arc de centre B et de rayon 5 cm, puis un arc de centre C et de rayon 6,5 cm : leur point d’intersection est A ; trace le triangle ABC ;
• place E sur [AB] à 3 cm de A, et F sur [AC] à 3,9 cm de A ; trace [EF] et contrôle à la règle qu’il mesure 4,8 cm ;
• prolonge [BA] au-delà de A et place G à 2 cm de A ; prolonge [CA] au-delà de A et place K à 2,6 cm de A.

3. Les points K, A, C sont alignés, ainsi que les points G, A, B, et ils sont dans le même ordre : K et G sont tous les deux de l’autre côté de A par rapport à C et à B. Alors on compare les rapports :

\[\dfrac{\text{AK}}{\text{AC}}=\dfrac{2{,}6}{6{,}5}=0{,}4\qquad \dfrac{\text{AG}}{\text{AB}}=\dfrac{2}{5}=0{,}4.\]

Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (KG) et (BC) sont parallèles.

Attention à ne pas comparer n’importe quels rapports : AF vaut 3,9 (et non 4,8, qui est la longueur EF). On peut d’ailleurs contrôler avec \(\dfrac{\text{AF}}{\text{AK}}=\dfrac{3{,}9}{2{,}6}=1{,}5\) et \(\dfrac{\text{AE}}{\text{AG}}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\) : on retrouve des rapports égaux, ce qui confirme que (KG) est aussi parallèle à (EF).

4. Les droites (AC) et (AB) seraient perpendiculaires si le triangle ABC était rectangle en A. Son plus grand côté est [BC]. Ensuite, on calcule séparément :

\[\text{BC}^2=8^2=64\qquad \text{AB}^2+\text{AC}^2=5^2+6{,}5^2=25+42{,}25=67{,}25.\]

Comme \(64\neq67{,}25\), l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée : d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle en A. Les droites (AC) et (AB) ne sont pas perpendiculaires.

Problème

Corrigé de la partie I : lecture des courbes

Dans le graphique, un petit carreau vaut 5 cm en abscisse et 1 kg en ordonnée. Le graphique ci-dessous reprend les deux courbes de l’annexe avec les tracés utiles (et la droite de la partie II).

1. Puis on part de 180 sur l’axe des abscisses et on monte jusqu’aux deux courbes. La courbe bleue est atteinte à 60 kg et la courbe rouge à environ 81 kg. Pour 180 cm, le poids minimum conseillé est d’environ 60 kg et le poids maximum conseillé d’environ 81 kg.

2. Pour 165 cm, la courbe rouge est atteinte vers 68 kg. La personne pèse 72 kg, donc elle dépasse le maximum de \(72-68=4\) kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé d’environ 4 kg.

3. Ensuite, on trace la droite horizontale d’ordonnée 72. Elle coupe la courbe rouge pour une taille d’environ 169 cm. À gauche de ce point, la courbe rouge est sous 72 kg (72 kg serait trop), à droite elle est au-dessus (72 kg est sous le maximum). La personne mesure plus de 169 cm environ (entre 169 cm et 200 cm, limite du graphique).

Remarque : si l’on veut en plus que 72 kg reste au-dessus du poids minimum conseillé, il faut que la taille ne dépasse pas environ 197 cm, là où la courbe bleue atteint 72 kg.

Corrigé de la partie II : le poids idéal

1. D’abord, on remplace \(t\) par chaque taille dans \(p=t-100-\dfrac{t-150}{4}\) :

\[t=160 :\quad p=160-100-\dfrac{10}{4}=60-2{,}5=57{,}5\]

\[t=165 :\quad p=165-100-\dfrac{15}{4}=65-3{,}75=61{,}25\]

\[t=180 :\quad p=180-100-\dfrac{30}{4}=80-7{,}5=72{,}5\]

Les poids idéaux sont 57,5 kg, 61,25 kg et 72,5 kg. Puis on place les points de coordonnées (160 ; 57,5), (165 ; 61,25) et (180 ; 72,5) sur le graphique de l’annexe (points noirs sur le graphique ci-dessus).

2. Alors on transforme l’expression de \(p\) :

\[p=t-100-\dfrac{t}{4}+\dfrac{150}{4}=t-\dfrac{1}{4}t-100+37{,}5=\dfrac{3}{4}t-62{,}5.\]

Le poids idéal s’écrit donc \(p=0{,}75\,t-62{,}5\) : c’est une fonction affine de la taille \(t\), de coefficient 0,75. Sa représentation graphique est une droite.

Pour la tracer, deux points suffisent : par exemple (160 ; 57,5) et (200 ; 87,5), car \(0{,}75\times200-62{,}5=150-62{,}5=87{,}5\). Les trois points de la question 1 sont bien alignés sur cette droite (droite verte ci-dessus).

3. Poids idéal pour 170 cm : \(p=170-100-\dfrac{20}{4}=70-5=65\) kg.

Augmenter de 10 %, c’est multiplier par \(1+\dfrac{10}{100}=1{,}1\) : \(65\times1{,}1=71{,}5\) kg.

Sur le graphique, le poids maximum conseillé pour 170 cm se lit sur la courbe rouge : environ 72,5 kg. Comme \(71{,}5\lt 72{,}5\), la personne ne dépasse pas le poids maximum conseillé, mais elle en est très proche (environ 1 kg en dessous).

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2008 : France.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé brevet 2008

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

En ce qui concerne les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Quant aux fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Dans les questions sur les systèmes d’équations, remplace ensuite les valeurs trouvées dans chaque équation, car ce contrôle rapide évite de perdre des points. Au besoin, la définition de la notion de équation du premier degré sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé brevet 2008 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé brevet 2008

Faut-il lire le corrigé corrigé brevet 2008 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2008. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les équations, les fractions, les systèmes d’équations et le théorème de Thalès. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé brevet 2008

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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