Corrigé du brevet de maths 2008 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2008 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé septembre 2008
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé septembre 2008 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « PGCD et fraction » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Programme de calcul » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Exemple ou contre-exemple » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Tangente et Thalès » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « Triangle dans un demi-cercle » (activités géométriques).
Ensuite, la correction reprend « Enquête sur les portables » (exercice 1 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Trois abonnements » (exercice 2 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé septembre 2008 sont les diviseurs communs, les fractions, le théorème de Pythagore, la trigonométrie et le théorème de Thalès, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé septembre 2008)
Corrigé de l’exercice 1 : PGCD et fraction irréductible
1. On applique l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.
\[375=1\times240+135\]
\[240=1\times135+105\]
\[135=1\times105+30\]
\[105=3\times30+15\]
\[30=2\times15+0\]
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(240 ; 375) = 15.
2. Pour rendre une fraction irréductible d’un seul coup, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD : \(240\div15=16\) et \(375\div15=25\).
\[\dfrac{240}{375}=\dfrac{16\times15}{25\times15}=\dfrac{16}{25}\]
Comme on a divisé par le PGCD, 16 et 25 n’ont plus de diviseur commun autre que 1 (\(16=2^4\) et \(25=5^2\)) : \(\dfrac{240}{375}=\dfrac{16}{25}\).
Corrigé de l’exercice 2 : programme de calcul
1. D’abord, on suit les étapes avec le nombre 2 : son carré vaut \(2^2=4\), multiplié par 10 cela donne 40, et en ajoutant 25 on obtient \(40+25=65\). Mathieu a bien obtenu 65.
2. Avec \(\sqrt{2}\) : par définition de la racine carrée, \(\left(\sqrt{2}\right)^2=2\). Ensuite \(2\times10=20\), puis \(20+25=45\). Le résultat est 45.
3. Notons \(x\) le nombre de départ. Le programme donne successivement \(x^2\), puis \(10x^2\), puis \(10x^2+25\).
Si \(x\) est un entier pair, \(10x^2\) est un multiple de 10, donc un nombre pair. En lui ajoutant 25, qui est impair, on obtient un nombre impair (pair + impair = impair). Par exemple, avec 2 on obtient 65 et avec 4 on obtient \(10\times16+25=185\), deux nombres impairs.
En réalité, le résultat est impair pour tout nombre entier de départ. Clémence a tort. D’ailleurs, l’exemple de Mathieu (départ 2, résultat 65) suffit à la contredire.
4. Le résultat vaut \(10x^2+25\). Un carré n’est jamais négatif : \(x^2\geqslant0\), donc \(10x^2\geqslant0\) et \(10x^2+25\geqslant25\).
Le résultat est donc toujours au moins égal à 25, en particulier strictement positif, quel que soit le nombre choisi (entier, décimal, négatif ou non). Margot a raison.
Corrigé de l’exercice 3 (septembre 2008) : exemple ou contre-exemple
La question demande si l’égalité est vraie pour toutes les valeurs de \(x\).
Léa n’a testé qu’une seule valeur. Le fait que l’égalité marche pour \(x=3\) ne dit rien des autres valeurs : un exemple ne suffit jamais à démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les nombres.
Myriam, elle, a trouvé une valeur, \(x=0\), pour laquelle les deux membres sont différents : \(2\neq-4\). Cela suffit pour affirmer que l’égalité n’est pas vraie pour n’importe quelle valeur de \(x\) : c’est un contre-exemple.
C’est Myriam qui a donné un argument correct : la réponse à la question est non.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : tangente, Pythagore et Thalès
1. P est sur le cercle de centre A et de rayon 5 cm, donc AP = 5 cm. Dans le triangle AMP, le plus long côté est [AP]. Ensuite, on compare :
\[\text{AP}^2=5^2=25\quad\text{et}\quad\text{AM}^2+\text{MP}^2=4^2+3^2=16+9=25\]
Puis on a \(\text{AP}^2=\text{AM}^2+\text{MP}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en M.
2. a. La tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon qui aboutit en ce point : (FT) est perpendiculaire à (AF), c’est-à-dire à la droite (EF).
D’après la question 1, (MP) est perpendiculaire à (AM), c’est-à-dire aussi à la droite (EF).
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (FT) et (MP) sont parallèles.
b. Les points F, A, M sont alignés sur (EF), les points T, A, P sont alignés sur (AP), et (FT) est parallèle à (MP). Alors on peut appliquer le théorème de Thalès (configuration « papillon », A étant entre F et M, et entre T et P) :
\[\dfrac{\text{AT}}{\text{AP}}=\dfrac{\text{AF}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{FT}}{\text{MP}}\]
AF est un rayon, donc AF = 5 cm. Avec AP = 5 cm et AM = 4 cm :
\[\dfrac{\text{AT}}{5}=\dfrac{5}{4}\quad\text{donc}\quad\text{AT}=\dfrac{5\times5}{4}=\dfrac{25}{4}=6{,}25\]
AT = 6,25 cm.
Corrigé de l’exercice 2 (septembre 2008) : triangle inscrit dans un demi-cercle
1. Construction : trace un segment [BC] de 8 cm et place son milieu O. Trace le cercle de centre O et de rayon 4 cm. Avec le compas, pointe en B avec un écartement de 4 cm : l’arc coupe le cercle en A (deux positions possibles, symétriques par rapport à (BC) ; on en choisit une). Trace ensuite le triangle ABC. Pour la question 3, prolonge [BA] au-delà de A d’une longueur égale à BA pour placer E.
![Cercle de centre O et de diamètre [BC] de 8 cm, point A sur le cercle avec BA = 4 cm, angle droit en A, point E symétrique de B par rapport à A et triangle BEC](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2008-france-septembre/gen-construction-ex2.webp)
2. a. Le point A est sur le cercle de diamètre [BC]. Or si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle, l’angle droit étant opposé à ce diamètre. Le triangle ABC est rectangle en A.
b. Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2\quad\text{donc}\quad\text{AC}^2=8^2-4^2=64-16=48\]
\[\text{AC}=\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\approx6{,}928\]
AC = \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) cm, soit environ 6,9 cm au millimètre près.
c. Dans le triangle ABC rectangle en A, on connaît le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) (AB = 4 cm) et l’hypoténuse (BC = 8 cm) : on utilise le cosinus.
\[\cos\widehat{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{4}{8}=0{,}5\]
La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{\text{ABC}}=60^\circ\).
3. E est le symétrique de B par rapport à A, donc A est le milieu de [BE] et BE = 2 × BA = 8 cm. Ainsi BE = BC = 8 cm : le triangle BEC est isocèle en B.
De plus, E est sur la demi-droite [BA), donc l’angle \(\widehat{\text{EBC}}\) est le même que \(\widehat{\text{ABC}}\), soit 60°. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux, donc chacun mesure \(\dfrac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\).
Les trois angles mesurent 60° : le triangle BEC est équilatéral (ses trois côtés mesurent 8 cm).
Autre justification possible : (CA) est perpendiculaire à (BE) et passe par le milieu A de [BE], c’est donc la médiatrice de [BE], d’où CE = CB = 8 cm.
Problème
Corrigé de la partie I : pourcentages et diagramme circulaire
1. a. 125 élèves sur 170 possèdent un téléphone portable :
\[\dfrac{125}{170}\times100\approx73{,}5\]
Environ 74 % des élèves possèdent un téléphone portable.
b. Les trois quarts représentent 75 %, soit \(\dfrac{3}{4}\times170=127{,}5\) élèves. Avec 74 % (125 élèves), on en est très proche : oui, on peut dire que près des trois quarts des élèves ont un portable.
2. a. Prendre 32 % de 125, c’est multiplier 125 par 0,32 :
\[125\times\dfrac{32}{100}=40\]
40 élèves ont une carte prépayée.
b. Dans un diagramme circulaire, l’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif : le disque entier (360°) représente les 125 élèves. Ensuite, on mesure au rapporteur l’angle du secteur « Compte bloqué 1 heure » : il part de la verticale (en haut) et va un peu au-delà de l’horizontale ; il mesure environ 120° (un angle droit plus un tiers d’angle droit).
\[\dfrac{120}{360}\times125=\dfrac{125}{3}\approx41{,}7\]
Environ 42 élèves ont un compte bloqué 1 heure.
Contrôle : le secteur « Carte prépayée » mesure environ 115°, ce qui donne \(\dfrac{115}{360}\times125\approx40\) élèves, en accord avec la question a. La méthode est donc fiable.
Corrigé de la partie II : comparer trois abonnements
1. Le graphique de l’annexe nomme ses tracés T1 et T2 (l’énoncé parle de F1 et F2 : il s’agit des mêmes tracés).
Julie paie toujours 20 €, quelle que soit sa consommation : son prix est représenté par une droite horizontale à la hauteur 20. Le tracé T1 (ou F1) représente le prix payé par Julie.
Marie paie 17 € jusqu’à 45 minutes, puis le prix augmente : c’est le tracé horizontal à 17 qui se met à monter à partir de 45 minutes. Le tracé T2 (ou F2) représente le prix payé par Marie.
2. Les deux tracés se coupent au point de coordonnées (51 ; 20). Avant 51 minutes, T2 est sous T1 (Marie paie moins) ; après 51 minutes, T1 est sous T2.
Vérification par le calcul : au-delà de 45 minutes, Marie paie \(17+0{,}5\times(x-45)\), et \(17+0{,}5\times(51-45)=17+3=20\).
Le compte bloqué de Julie est moins coûteux que le forfait de Marie à partir de 51 minutes (au-delà de 51 minutes ; à 51 minutes exactement, les deux paient 20 €). Remarque : Julie ne peut de toute façon pas dépasser 60 minutes.
3. a. Sophie paie 10 € d’abonnement, plus 0,25 € pour chacune des \(x\) minutes :
\(\text{prix de Sophie}=10+0{,}25x\) (en euros).
b. C’est une fonction affine : sa représentation est une droite. Il suffit de deux points :
| Durée \(x\) (min) | 0 | 40 | 80 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 10 | 20 | 30 |
Puis on trace sur l’annexe la droite passant par (0 ; 10) et (80 ; 30) ; le point (40 ; 20) permet de contrôler le tracé.
4. Pour Marie : elle a payé 30 €, donc plus de 17 €, elle a dépassé les 45 minutes. Notons \(t\) sa durée totale en minutes :
\[17+0{,}5\,(t-45)=30\quad\text{donc}\quad0{,}5\,(t-45)=13\quad\text{donc}\quad t-45=26\quad\text{donc}\quad t=71\]
Marie a téléphoné 71 minutes.
Pour Sophie :
\[10+0{,}25x=30\quad\text{donc}\quad0{,}25x=20\quad\text{donc}\quad x=\dfrac{20}{0{,}25}=80\]
Sophie a téléphoné 80 minutes. Ensuite, on retrouve ces valeurs sur le graphique en lisant les abscisses des points d’ordonnée 30.
C’est Sophie qui a téléphoné le plus longtemps : 80 minutes contre 71 minutes pour Marie.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé septembre 2008
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
En ce qui concerne les diviseurs communs, cherche le plus grand diviseur commun, car c’est lui qui donne le nombre maximal de lots identiques. Quant aux fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Dans les questions sur le théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. Au besoin, la définition de la notion de plus grand commun diviseur sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé septembre 2008 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé septembre 2008
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2008 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2008. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les diviseurs communs, les fractions, le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé septembre 2008
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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