Conjecture
En bref : Une conjecture est une affirmation que l’on pense vraie après avoir observé plusieurs cas, mais qui n’est pas encore démontrée : elle peut encore se révéler fausse.
5èmeLogique et raisonnement
Définition : Conjecture
Une conjecture naît d’une observation. On teste quelques cas, on remarque une régularité, et l’on formule une phrase générale qui semble toujours vraie. Tant qu’elle n’est pas prouvée, ce n’est qu’une hypothèse de travail.
Plus on teste de cas favorables, plus elle devient crédible, mais aucun nombre d’essais ne remplace une démonstration. Un seul cas qui la contredit suffit à la rejeter : on l’appelle un contre-exemple. Si au contraire on la prouve par un raisonnement valable pour tous les cas, elle devient une propriété.
Comment le reconnaître
- L’énoncé dit « que remarques-tu ? » ou « émets une hypothèse sur la suite de ce qu’on observe ».
- Un tableur ou un logiciel de géométrie dynamique donne la même observation après plusieurs essais.
- On a vérifié sur quelques exemples, mais on ne peut pas encore affirmer que c’est toujours vrai.
- La consigne demande de tester une affirmation avant de chercher à la prouver.
La méthode
- Faire plusieurs essais avec des valeurs variées, petites, grandes et inhabituelles.
- Repérer ce qui revient à chaque fois et l’écrire sous forme d’une phrase générale.
- Tester l’idée sur de nouveaux cas, en cherchant volontairement un cas qui la contredise.
- Si aucun cas ne la contredit, la garder comme hypothèse et chercher à la démontrer.
Conjecture : exemple corrigé
Énoncé
Lina calcule la somme de trois entiers consécutifs : \(5 + 6 + 7 = 18\), \(8 + 9 + 10 = 27\) et \(20 + 21 + 22 = 63\). Quelle conjecture peut-elle formuler ? Que donne un nouvel essai avec \(41\), \(42\) et \(43\) ?
Corrigé
Dans chaque essai, la somme est égale à trois fois le nombre du milieu : \(18 = 3 \times 6\), \(27 = 3 \times 9\), \(63 = 3 \times 21\). On conjecture que la somme de trois entiers consécutifs est le triple du nombre central.
Nouvel essai : \(41 + 42 + 43 = 126\) et \(3 \times 42 = 126\). La conjecture se confirme, mais elle n’est pas démontrée pour autant : quelques exemples ne suffisent pas.
À toi de jouer
Question 1
Après avoir testé \(3\), \(5\) et \(7\), Tom affirme : « tous les nombres impairs sont premiers ». Est-ce une conjecture solide ?
Voir la réponse
Non : \(9 = 3 \times 3\) la contredit. Elle est fausse dès un seul cas, c’est un contre-exemple.
Question 2
Une conjecture a été vérifiée sur \(1\,000\) cas. Est-elle alors démontrée ?
Voir la réponse
Non : même avec \(1\,000\) vérifications, un cas rarissime pourrait la contredire. Seul un raisonnement valable pour tous les cas la prouve.
Ne pas confondre Conjecture et Démonstration
La conjecture est une idée issue d’essais : elle est plausible, pas certaine. La démonstration est le raisonnement logique qui prouve qu’elle est vraie dans tous les cas, sans exception. On passe de l’une à l’autre en cherchant une preuve ou, à défaut, un contre-exemple.
Pour aller plus loin
Mots voisins
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