Somme des angles d’un triangle
En bref : La somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés pour toutes les formes possibles, ce qui donne le troisième angle dès que deux mesures sont connues.
5èmeGéométrie plane
Définition : Somme des angles d'un triangle
La somme des angles d’un triangle ne change jamais : en additionnant les mesures de ses trois angles, on trouve \(180^\circ\), que la figure soit allongée, aplatie, pointue ou presque rectangle.
Une expérience de papier le montre : on déchire les trois coins d’un triangle et on les juxtapose, ils dessinent ensemble un angle plat. Cette propriété sert à retrouver un angle caché, à prouver qu’un triangle n’a pas deux angles droits et à étudier les triangles isocèles ou équilatéraux.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne deux angles d’un triangle et demande le troisième.
- On cherche les angles d’un triangle isocèle dont on connaît l’angle au sommet.
- Il faut justifier qu’un triangle est impossible parce que ses trois angles totalisent plus ou moins de \(180^\circ\).
- Un angle droit est codé dans un triangle et on veut la mesure des deux autres angles.
La méthode
- Citer la somme des angles d’un triangle : elle vaut \(180^\circ\).
- Additionner les deux angles connus.
- Soustraire ce total à \(180^\circ\) pour obtenir l’angle manquant.
- Rédiger la conclusion avec son unité et vérifier que l’angle trouvé est positif.
Somme des angles d'un triangle : exemple corrigé
Énoncé
Dans le triangle \(ABC\), l’angle \(\widehat{A}\) mesure \(63^\circ\) et l’angle \(\widehat{B}\) mesure \(47^\circ\). Calculer \(\widehat{C}\). Puis, dans un triangle isocèle dont l’angle au sommet vaut \(34^\circ\), calculer chaque angle à la base.
Corrigé
La somme des trois angles vaut \(180^\circ\). Donc \(\widehat{C} = 180 – (63 + 47) = 180 – 110 = 70^\circ\).
Dans le triangle isocèle, les deux angles de la base ont la même mesure et se partagent \(180 – 34 = 146^\circ\). Chacun mesure \(146 \div 2 = 73^\circ\). \(\widehat{C} = 70^\circ\) et les angles à la base valent 73°.
À toi de jouer
Question 1
Un triangle rectangle a un angle aigu de \(35^\circ\). Combien mesure l’autre angle aigu ?
Voir la réponse
\(180 – 90 – 35 = 55^\circ\).
Question 2
Un triangle peut-il avoir des angles de \(88^\circ\), \(59^\circ\) et \(31^\circ\) ?
Voir la réponse
\(88 + 59 + 31 = 178\), qui est différent de \(180\) : ce triangle n’existe pas.
Ne pas confondre Somme des angles d'un triangle et Inégalité triangulaire
La somme des angles se rapporte aux mesures en degrés et vaut toujours \(180^\circ\). L’inégalité triangulaire porte sur les longueurs : un côté ne peut pas dépasser le total des deux autres. L’une répond à « quel angle manque ? », l’autre à « ce triangle peut-il être tracé avec ces côtés ? ».
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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