Cône de révolution
En bref : Un cône de révolution est un solide pointu : une base en disque, et un sommet placé à la verticale de son centre, dont le volume est le tiers de celui d’un cylindre de base et de hauteur identiques.
4èmeGéométrie dans l'espace
Définition : Cône de révolution
Un cône de révolution possède une base en forme de disque et un sommet unique, relié à chaque point du bord de cette base. On l’obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un des deux côtés qui forment son angle droit.
La hauteur est l’écart entre le sommet et le plan de la base, pris perpendiculairement. Le volume se calcule par \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\), avec \(r\) le rayon de la base et \(h\) la hauteur : trois cônes remplis d’eau suffisent à vider un cylindre de même base et de même hauteur.
Comment le reconnaître
- Le solide se termine en pointe : cornet de glace, chapeau de magicien, plot de chantier.
- Le patron comprend un disque et une portion de disque qui s’enroule autour.
- L’énoncé donne un rayon et une hauteur et demande une contenance en litres ou en cm³.
- On compare un solide pointu à un cylindre qui a la même base et la même hauteur.
La méthode
- Repérer le rayon \(r\) de la base et la hauteur \(h\), mesurée à angle droit avec la base, et pas le long de la pente.
- Calculer l’aire de la base : \(\pi \times r^2\).
- Multiplier par la hauteur, puis diviser par \(3\).
- Donner la valeur exacte avec \(\pi\), puis une valeur approchée avec l’unité en cube.
Cône de révolution : exemple corrigé
Énoncé
Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution de rayon \(3\) cm et de hauteur \(10\) cm. Quel volume peut-il contenir, au centimètre cube près ?
Corrigé
Volume \(= \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 90 = 30\pi\) cm³.
Avec \(\pi \approx 3{,}14159\), on obtient \(30\pi \approx 94{,}2\). Le cornet contient environ 94 cm³, soit un peu moins d’un décilitre.
À toi de jouer
Question 1
Calculer la valeur exacte du volume d’un cône de rayon \(5\) cm et de hauteur \(6\) cm.
Voir la réponse
\(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 6 = 50\pi\) cm³, soit environ \(157{,}1\) cm³.
Question 2
Un cylindre de volume \(90\) cm³ a même base et même hauteur qu’un cône. Quel est le volume du cône ?
Voir la réponse
Le cône vaut le tiers du cylindre : \(90 \div 3 = 30\) cm³.
Ne pas confondre Cône de révolution et Pyramide
Le cône a une base ronde et une surface latérale courbe. La pyramide a pour base un polygone et ses faces latérales sont des triangles. Les deux solides pointus se calculent pourtant de la même manière : un tiers de l’aire de la base multiplié par la hauteur.
Pour aller plus loin
Cours
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