Théorème
En bref : Un théorème est une propriété mathématique dont on a prouvé qu’elle est vraie dans tous les cas ; on peut s’appuyer sur lui pour démontrer d’autres résultats sans le redémontrer.
4èmeLogique et raisonnement
Définition : Théorème
Un théorème est un énoncé démontré. Il se présente souvent sous la forme « si hypothèse, alors conclusion » et reste vrai chaque fois que l’hypothèse est remplie.
Il ne suffit pas qu’une propriété soit vérifiée sur plusieurs exemples pour en faire un théorème : elle doit être prouvée pour tous les cas possibles. Une fois établi, il devient un outil. Parmi ceux du collège figurent Pythagore, Thalès ou la propriété des angles opposés par le sommet. On le cite en rédaction pour justifier une étape.
Comment le reconnaître
- L’énoncé commence par « d’après le théorème de… » ou demande de citer la propriété utilisée.
- Une phrase de type « si… alors… » est présentée dans le cours et encadrée.
- On doit justifier chaque étape d’une démonstration par une règle connue.
- Une affirmation vue sur un dessin paraît évidente, mais il faut une preuve.
La méthode
- Repérer la propriété du cours dont l’hypothèse correspond aux données de l’énoncé.
- Vérifier que toutes les conditions sont réunies, sans en oublier.
- Écrire la conclusion que ce résultat permet d’affirmer.
- Rédiger : « on sait que… ; or d’après le théorème de… ; donc… ».
Théorème : exemple corrigé
Énoncé
Deux routes droites se croisent à un rond-point \(O\) près de Vannes. L’un des angles formés mesure \(47^\circ\). Quelles sont les mesures des trois autres angles ? Citer la propriété utilisée.
Corrigé
L’angle opposé par le sommet à l’angle de \(47^\circ\) vaut aussi \(47^\circ\), d’après la propriété : « des angles opposés par le sommet sont égaux ».
Chacun des deux autres angles forme avec l’angle de \(47^\circ\) un angle plat de \(180^\circ\) : \(180 – 47 = 133^\circ\). Les angles mesurent 47°, 47°, 133° et 133°.
À toi de jouer
Question 1
Deux angles opposés par le sommet mesurent \(2x\) et \(58^\circ\). Que vaut \(x\) ?
Voir la réponse
Ils sont égaux : \(2x = 58\), donc \(x = 29\).
Question 2
Observer plusieurs triangles suffit-il à déclarer que leurs angles totalisent toujours \(180^\circ\) ?
Voir la réponse
Non : des exemples donnent une conjecture. Il faut une démonstration valable pour tous les triangles.
Ne pas confondre Théorème et Conjecture
Une conjecture est une affirmation qui semble vraie après quelques essais, mais qui n’est pas encore démontrée. Un théorème est une conjecture devenue certaine grâce à une preuve. Tant qu’une propriété n’est pas prouvée, on ne peut pas s’en servir comme d’un résultat acquis.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Conjecture
- Démonstration
- Hypothèse et conclusion
- Réciproque
- Théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès
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