Coefficient directeur
En bref : Le coefficient directeur d’une droite non verticale, noté a dans y = ax + b, est le nombre qui indique de combien y varie quand x augmente de 1 : c’est la pente de la droite.
3èmeFonctions
Définition : Coefficient directeur
Le coefficient directeur d’une droite est son degré d’inclinaison. Dans l’équation réduite \(y = ax + b\), c’est le nombre \(a\) : si \(x\) augmente de 1, alors \(y\) augmente de \(a\).
Pour une droite qui passe par \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) avec \(x_A \neq x_B\), on le calcule par \(a = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\). Quand \(a\) est positif, la droite monte si on la lit de gauche à droite ; quand \(a\) est négatif, elle descend ; quand \(a\) est nul, elle est horizontale.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne deux points d’une droite et demande son équation ou son inclinaison.
- On lit sur un graphique de combien de carreaux on monte ou on descend pour avancer d’un nombre précis de carreaux vers la droite.
- Une fonction est écrite sous la forme \(f(x) = ax + b\) et l’on veut dire si elle est croissante ou décroissante.
- Un problème parle de pourcentage de pente, de tarif par kilomètre ou de vitesse constante.
La méthode
- Relever les coordonnées de deux points \(A\) et \(B\) de la droite, de préférence à coordonnées entières.
- Calculer la différence des ordonnées \(y_B – y_A\) et la différence des abscisses \(x_B – x_A\), dans le même ordre.
- Diviser la première différence par la seconde pour obtenir \(a\), puis simplifier la fraction.
- Trouver \(b\) en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\) dans \(y = ax + b\).
Coefficient directeur : exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère, la droite \((d)\) passe par \(A(-2\,;\,5)\) et \(B(3\,;\,-5)\). Déterminer son coefficient directeur puis son équation réduite.
Corrigé
On calcule \(a = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{-5 – 5}{3 – (-2)} = \frac{-10}{5} = -2\). Le coefficient directeur est négatif : la droite descend.
L’équation s’écrit \(y = -2x + b\). Avec \(A\) : \(5 = -2 \times (-2) + b = 4 + b\), donc \(b = 1\).
Vérification avec \(B\) : \(-2 \times 3 + 1 = -5\). L’équation est \(y = -2x + 1\).
À toi de jouer
Question 1
Quel est le coefficient directeur de la droite d’équation \(y = 7x – 4\) ?
Voir la réponse
C’est le nombre devant \(x\) : \(a = 7\).
Question 2
Une droite passe par \(C(1\,;\,3)\) et \(D(5\,;\,11)\). Calculer son coefficient directeur.
Voir la réponse
\(a = \frac{11 – 3}{5 – 1} = \frac{8}{4} = 2\).
Ne pas confondre Coefficient directeur et Ordonnée à l'origine
Dans \(y = ax + b\), le nombre \(a\) règle l’inclinaison : il se calcule avec deux points. Le nombre \(b\) donne l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe vertical : c’est la valeur de \(y\) quand \(x = 0\). Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur mais, en général, pas le même \(b\).
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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