Fonction linéaire
En bref : Une fonction linéaire multiplie chaque nombre x par un même coefficient a, ce qui donne f(x) = ax ; on la reconnaît à sa courbe, une droite tracée depuis le point O du repère.
3èmeFonctions
Définition : Fonction linéaire
Une fonction linéaire multiplie tous les nombres par le même coefficient \(a\) : \(f(x) = ax\). Le résultat est donc proportionnel à \(x\), et \(a\) est le coefficient de proportionnalité.
On en tire trois conséquences. L’image de 0 est 0. Le quotient \(\frac{f(x)}{x}\) vaut toujours \(a\) pour \(x\) non nul. Et la courbe est une droite issue du point \(O\), de pente \(a\). Si \(a\) est négatif, la droite descend ; si \(a\) est positif, elle monte.
Comment le reconnaître
- Un énoncé indique que le prix, la masse ou la distance est proportionnel à la quantité achetée ou au temps écoulé.
- Un tableau de valeurs a la même valeur pour tous les quotients résultat sur départ.
- Une fonction est notée \(f : x \mapsto 4{,}2x\), sans terme constant ajouté.
- La droite tracée passe par le point de coordonnées \((0\,;\,0)\).
La méthode
- Trouver le coefficient : diviser une image connue par son antécédent, \(a = \frac{f(x)}{x}\).
- Écrire la formule \(f(x) = ax\) avec la valeur de \(a\) trouvée.
- Pour une image, multiplier le nombre par \(a\) ; pour un antécédent, diviser le résultat par \(a\).
- Tracer la droite à l’aide de l’origine et d’un seul autre point calculé.
Fonction linéaire : exemple corrigé
Énoncé
Une boulangerie de Nantes vend 7 croissants pour 9,10 €. Le prix est proportionnel au nombre de croissants. Écrire la fonction \(f\) qui donne le prix de \(x\) croissants, puis calculer le prix de 12 croissants et le nombre de croissants que l’on obtient pour 41,60 €.
Corrigé
Le coefficient est \(a = \frac{9{,}1}{7} = 1{,}3\). Donc \(f(x) = 1{,}3x\) : un croissant coûte 1,30 €.
Pour 12 croissants : \(f(12) = 1{,}3 \times 12 = 15{,}6\), soit 15,60 €.
Pour 41,60 € on résout \(1{,}3x = 41{,}6\) : \(x = \frac{41{,}6}{1{,}3} = \) 32 croissants.
À toi de jouer
Question 1
Soit \(f(x) = -3x\). Calculer l’image de \(5\).
Voir la réponse
\(f(5) = -3 \times 5 = -15\).
Question 2
Une fonction linéaire \(f\) vérifie \(f(6) = 21\). Quelle est son expression ?
Voir la réponse
\(a = \frac{21}{6} = 3{,}5\), donc \(f(x) = 3{,}5x\).
Ne pas confondre Fonction linéaire et Fonction affine
La fonction linéaire est le cas où la droite part de l’origine : \(f(x) = ax\), sans addition. Dès qu’on ajoute un nombre fixe, comme un droit d’entrée, on obtient \(ax + b\) avec \(b \neq 0\) : la fonction est alors seulement affine, et le prix n’est plus proportionnel à la quantité.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction affine
- Coefficient directeur
- Proportionnalité
- Coefficient de proportionnalité
- Fonction
- Courbe représentative
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