Nombre irrationnel
En bref : Un nombre irrationnel est un nombre réel impossible à écrire comme une fraction d’entiers ; son écriture décimale est infinie et ne se répète jamais par période.
3èmeNombres et calculs
Définition : Nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire \(\frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers, \(q\) non nul. Les plus célèbres sont \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) et \(\pi\).
Leur écriture décimale a une infinité de chiffres qui ne forment jamais un bloc répété : \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\) Les valeurs que l’on tape sur la calculatrice, comme \(1{,}414\), ne sont que des valeurs approchées. Tous les nombres vus jusqu’ici sont rationnels : entiers, décimaux, fractions. Les irrationnels complètent la droite graduée avec des points que ces fractions n’atteignent pas.
Comment le reconnaître
- Un énoncé demande de classer des nombres entre entiers, décimaux, rationnels et irrationnels.
- On rencontre une racine carrée d’un entier qui n’est pas un carré parfait, comme \(\sqrt{20}\).
- La calculatrice affiche un nombre de dix chiffres sans motif qui se répète.
- Une longueur est donnée exactement avec une racine carrée ou avec \(\pi\), et la consigne interdit de l’arrondir.
La méthode
- Simplifier d’abord le nombre : \(\sqrt{49} = 7\) et \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) sont rationnels.
- Si la racine porte sur un entier qui n’est pas un carré parfait, conclure qu’elle est irrationnelle.
- Un nombre décimal fini ou périodique est rationnel : on peut l’écrire sous forme de fraction.
- Pour l’affichage, donner la valeur exacte ou préciser l’arrondi, jamais « = 1,414 » sans le signe \(\approx\).
Nombre irrationnel : exemple corrigé
Énoncé
Pour chacun des nombres \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{20}\), \(\frac{22}{7}\) et \(\pi\), dire s’il est rationnel ou irrationnel.
Corrigé
\(\sqrt{49} = 7\) est un entier, donc rationnel. \(\frac{22}{7}\) est une fraction d’entiers, donc rationnel (c’est seulement une valeur approchée de \(\pi\)).
\(20\) n’est pas un carré parfait, donc \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) est irrationnel. Enfin \(\pi\) est irrationnel.
Bilan : \(\sqrt{20}\) et \(\pi\) sont irrationnels, les deux autres sont rationnels.
À toi de jouer
Question 1
Le nombre \(\sqrt{81}\) est-il rationnel ?
Voir la réponse
Oui : \(\sqrt{81} = 9\), c’est un entier, donc il s’écrit \(\frac{9}{1}\).
Question 2
Peut-on dire que \(\pi = 3{,}14\) ?
Voir la réponse
Non : \(3{,}14 = \frac{314}{100}\) est rationnel alors que \(\pi\) ne l’est pas ; on écrit \(\pi \approx 3{,}14\).
Ne pas confondre Nombre irrationnel et Nombre rationnel
Un nombre rationnel peut s’écrire comme une fraction d’entiers, et son écriture décimale s’arrête ou se répète : \(\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) Un nombre irrationnel n’a ni fraction ni période. Il n’y a pas de zone intermédiaire : tout nombre réel est de l’un des deux types.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Nombres et calculs
