Nombre premier
En bref : Un nombre premier ne se découpe pas en produit de deux entiers plus petits : à partir de 2, il n’admet que 1 et lui-même pour diviseurs, comme 2, 3, 5, 7, 11 ou 13.
3èmeNombres et calculs
Définition : Nombre premier
Un nombre premier est un entier naturel qui ne se divise exactement que par 1 et par lui-même. Le nombre 13 est premier, car aucun entier entre 2 et 12 ne le divise. Le nombre 15 ne l’est pas : il se divise par 3 et par 5.
Le nombre 1 est exclu de la liste, puisqu’il n’a qu’un seul diviseur. Seul le 2 est pair parmi eux. Tout entier supérieur ou égal à 2 est soit premier, soit produit de nombres premiers : c’est ce qui rend ces nombres si importants, ils sont les briques de la multiplication.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande « justifier que 97 est premier » ou « trouver tous les nombres premiers inférieurs à 50 ».
- On cherche à décomposer un nombre en facteurs, et chaque facteur doit être irréductible.
- Un nombre est présenté comme n’ayant « que deux diviseurs ».
- La consigne mêle critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9.
La méthode
- Éliminer d’emblée les nombres pairs (sauf 2), ceux qui finissent par 0 ou 5 (sauf 5) et ceux dont la somme des chiffres est un multiple de 3.
- Calculer une valeur approchée de la racine carrée du nombre, par exemple \(\sqrt{97} \approx 9{,}8\).
- Tester la divisibilité par chaque nombre premier inférieur à cette racine : ici 2, 3, 5 et 7.
- Conclure : si aucun ne divise, le nombre est premier ; si l’un divise, il est composé.
Nombre premier : exemple corrigé
Énoncé
Les nombres 91 et 97 sont-ils premiers ?
Corrigé
Pour 91 : \(\sqrt{91} \approx 9{,}5\). On teste 2, 3, 5 puis 7. Or \(7 \times 13 = 91\), donc 91 se divise par 7 : il n’est pas premier.
Pour 97 : \(\sqrt{97} \approx 9{,}8\). Il est impair, la somme de ses chiffres est 16 (pas un multiple de 3), il ne finit ni par 0 ni par 5, et \(97 = 7 \times 13 + 6\) n’est pas multiple de 7.
Aucun diviseur premier inférieur à 9,8 : 97 est premier, 91 ne l’est pas.
À toi de jouer
Question 1
Le nombre 51 est-il premier ?
Voir la réponse
Non : la somme de ses chiffres est 6, donc il est divisible par 3 : \(51 = 3 \times 17\).
Question 2
Quel est le seul nombre premier pair ?
Voir la réponse
C’est 2 : tout autre multiple de 2 possède au moins un diviseur de plus que 1 et lui.
Ne pas confondre Nombre premier et Nombres premiers entre eux
Être premier est une propriété d’un seul nombre, qui se divise uniquement par 1 et par lui-même. Être premiers entre eux est une propriété d’un couple : 1 est alors l’unique diviseur commun. Ainsi 8 et 15 forment un tel couple, bien qu’aucun des deux ne soit premier.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Décomposition en facteurs premiers
- Nombres premiers entre eux
- Diviseur
- Critère de divisibilité
- PGCD
- Multiple
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