PGCD
En bref : Le PGCD de deux entiers est le plus grand nombre qui divise à la fois l’un et l’autre ; il sert à simplifier des fractions et à partager en parts égales.
3èmeNombres et calculs
Définition : PGCD
Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers positifs est le plus grand entier qui les divise tous les deux sans reste. Les diviseurs communs de 18 et 24, par exemple, sont 1, 2, 3 et 6 : le plus grand vaut 6.
Deux méthodes le déterminent. L’algorithme d’Euclide enchaîne des divisions euclidiennes : le dernier reste non nul est le résultat. La décomposition en facteurs premiers retient les facteurs communs avec leur plus petit exposant. Le résultat est toujours un diviseur de chacun des deux nombres.
Comment le reconnaître
- Un partage doit se faire en groupes tous identiques, sans reste, et le plus grand possible.
- On carrelle un rectangle avec des carreaux carrés de la plus grande taille possible.
- Une fraction doit être rendue irréductible et l’on cherche le diviseur à utiliser.
- L’énoncé demande « le plus grand diviseur commun » ou « le plus grand nombre de lots identiques ».
La méthode
- Euclide : diviser le plus grand nombre \(a\) par le plus petit \(b\) et noter le reste \(r\).
- Recommencer en divisant \(b\) par \(r\), puis le diviseur précédent par le nouveau reste, jusqu’à obtenir un reste nul.
- Le dernier reste non nul est le résultat cherché ; l’écrire avec les nombres de départ.
- Contrôler par la décomposition en facteurs premiers, ou en vérifiant que ce nombre divise bien les deux entiers.
PGCD : exemple corrigé
Énoncé
Une fleuriste dispose de 252 roses et 198 tulipes. Elle veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques, sans rien laisser. Combien de bouquets, et que contient chacun ?
Corrigé
Le nombre de bouquets divise 252 et 198 : on cherche leur PGCD. Par l’algorithme d’Euclide : \(252 = 198 \times 1 + 54\), puis \(198 = 54 \times 3 + 36\), puis \(54 = 36 \times 1 + 18\), enfin \(36 = 18 \times 2 + 0\).
Le dernier reste non nul est \(18\). Contrôle : \(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\) et \(198 = 2 \times 3^2 \times 11\), d’où \(2 \times 3^2 = 18\).
Elle compose 18 bouquets de \(252 \div 18 = 14\) roses et \(198 \div 18 = 11\) tulipes.
À toi de jouer
Question 1
Calculer le PGCD de 48 et 36.
Voir la réponse
\(48 = 36 \times 1 + 12\), puis \(36 = 12 \times 3 + 0\). Le résultat est 12.
Question 2
Un sol de 120 cm sur 84 cm est carrelé avec des carreaux carrés entiers, les plus grands possible. Quel est leur côté ?
Voir la réponse
On cherche le plus grand commun diviseur de 120 et 84 : \(120 = 84 \times 1 + 36\), \(84 = 36 \times 2 + 12\), \(36 = 12 \times 3\). Le côté vaut 12 cm.
Ne pas confondre PGCD et PPCM
Le PGCD est un diviseur des deux nombres, donc plus petit ou égal au plus petit des deux : on l’utilise pour partager ou simplifier. Le PPCM est un multiple commun, plus grand ou égal au plus grand des deux : on l’utilise pour faire coïncider des événements qui se répètent.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- PPCM
- Décomposition en facteurs premiers
- Nombres premiers entre eux
- Fraction irréductible
- Diviseur
- Division euclidienne
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Nombres et calculs
