PPCM
En bref : Le PPCM de deux entiers est le plus petit nombre non nul qui soit à la fois multiple de l’un et multiple de l’autre ; il sert à faire coïncider des cycles.
3èmeNombres et calculs
Définition : PPCM
Le PPCM (plus petit commun multiple) de deux entiers strictement positifs est le plus petit entier non nul qui se trouve dans les deux tables de multiplication. Les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, 20… et ceux de 6 sont 6, 12, 18, 24… : le premier à apparaître dans les deux listes est 12.
On peut aussi le calculer par la décomposition en facteurs premiers : on retient tous les facteurs présents dans l’un ou l’autre, avec leur plus grand exposant. Un lien utile relie les deux notions : le produit des deux nombres est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM.
Comment le reconnaître
- Deux phénomènes se répètent à des intervalles différents et l’on demande quand ils tombent ensemble.
- On additionne ou on compare des fractions et l’on cherche le plus petit dénominateur commun.
- L’énoncé parle de « la prochaine fois », « au bout de combien de temps », ou « à nouveau en même temps ».
- Il faut une quantité qui puisse se découper aussi bien en parts de 18 qu’en parts de 24.
La méthode
- Décomposer chaque nombre en facteurs premiers, ou écrire la liste de ses premiers multiples.
- Retenir tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant.
- Multiplier ces facteurs pour obtenir le résultat ; avec des listes, prendre le premier multiple commun.
- Contrôler que le résultat est bien divisible par chacun des deux nombres de départ.
PPCM : exemple corrigé
Énoncé
À 6 h 00, deux bus partent ensemble de la gare de Valence. Le bus A repasse toutes les 18 minutes, le bus B toutes les 24 minutes. À quelle heure repartent-ils à nouveau ensemble ?
Corrigé
On cherche le plus petit multiple commun non nul de 18 et 24. On a \(18 = 2 \times 3^2\) et \(24 = 2^3 \times 3\).
On garde chaque facteur avec son plus grand exposant : \(2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\).
Ils se retrouvent 72 minutes plus tard, soit à 7 h 12. Contrôle : \(72 = 18 \times 4 = 24 \times 3\).
À toi de jouer
Question 1
Quel est le PPCM de 6 et 15 ?
Voir la réponse
Multiples de 15 : 15, 30. Le nombre 30 est aussi multiple de 6 : le résultat est 30.
Question 2
Vérifier que le produit de 12 et 18 est égal à celui de leur PGCD (6) par leur PPCM (36).
Voir la réponse
\(12 \times 18 = 216\) et \(6 \times 36 = 216\) : l’égalité est vérifiée.
Ne pas confondre PPCM et PGCD
Le PPCM est le plus petit multiple commun : il est plus grand ou égal à chacun des deux nombres. Le PGCD est le plus grand diviseur commun : il est plus petit ou égal à chacun d’eux. Pour 12 et 18, l’un vaut 36 et l’autre 6. Se demander « partage-t-on ? » (PGCD) ou « se retrouve-t-on ? » (PPCM) permet de choisir.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Nombres et calculs
