Réciproque du théorème de Thalès
En bref : La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer un parallélisme à partir de mesures : il suffit que deux quotients de longueurs soient égaux et que les points soient rangés dans le même ordre.
3èmeGéométrie plane
Définition : Réciproque du théorème de Thalès
La réciproque du théorème de Thalès est l’outil à employer lorsqu’on veut établir qu’une droite est parallèle à une autre en ne disposant que de longueurs. On part d’un triangle \(ABC\), d’un point \(M\) sur \((AB)\) et d’un point \(N\) sur \((AC)\), placés de sorte que \(M\) soit du même côté de \(A\) que \(B\), et \(N\) du même côté de \(A\) que \(C\).
Si les quotients \(\frac{AM}{AB}\) et \(\frac{AN}{AC}\) sont égaux, alors \((MN)\) est parallèle à \((BC)\). Le théorème direct fait le trajet opposé : il part du parallélisme pour en tirer des égalités. Quand les quotients sont différents, on peut affirmer que les droites ne sont pas parallèles.
Comment le reconnaître
- La consigne dit « prouver que » deux droites sont parallèles, alors que la figure ne donne ni angles ni codage.
- Les longueurs \(AM\), \(AB\), \(AN\) et \(AC\) sont fournies, mais le parallélisme n’est pas annoncé.
- Deux droites passent par un même point \(A\) et sont coupées par une troisième droite et par sa supposée parallèle.
- On doit contrôler qu’une poutre, un rail ou une étagère est bien parallèle à une autre.
La méthode
- Vérifier les conditions : \(A, M, B\) alignés et \(A, N, C\) alignés, dans le même ordre.
- Calculer séparément les deux rapports \(\frac{AM}{AB}\) et \(\frac{AN}{AC}\), sous forme décimale ou en fraction irréductible.
- S’ils sont égaux, conclure en citant la réciproque du théorème de Thalès : les droites sont parallèles.
- S’ils sont différents, conclure que les droites ne sont pas parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès : exemple corrigé
Énoncé
Dans le triangle \(ABC\), le point \(M\) est sur \([AB]\) et le point \(N\) sur \([AC]\), avec \(AM = 3\), \(AB = 7{,}5\), \(AN = 4{,}2\) et \(AC = 10{,}5\) (en cm). Peut-on affirmer que \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles ?
Corrigé
Les points \(A, M, B\) d’une part, \(A, N, C\) d’autre part, sont alignés dans le même ordre.
On calcule \(\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4\) et \(\frac{AN}{AC} = \frac{4{,}2}{10{,}5} = 0{,}4\).
Les deux quotients sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
À toi de jouer
Question 1
Avec \(AM = 2\), \(AB = 6\), \(AN = 3\) et \(AC = 8\), le parallélisme est-il démontré ?
Voir la réponse
\(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) alors que \(\frac{3}{8}\) est une autre valeur : les quotients diffèrent, donc les droites ne sont pas parallèles.
Question 2
Avec \(AM = 5\), \(AB = 15\), \(AN = 6\) et \(AC = 18\), que conclure ?
Voir la réponse
\(\frac{5}{15} = \frac{1}{3}\) et \(\frac{6}{18} = \frac{1}{3}\) : l’égalité est vérifiée, donc parallèles, à condition que l’ordre des points soit respecté.
Ne pas confondre Réciproque du théorème de Thalès et Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès suppose deux droites parallèles et en tire trois rapports égaux, pour calculer une longueur manquante. L’énoncé réciproque teste l’égalité de deux rapports déjà connus pour en déduire le parallélisme. Retenir : l’un sert à calculer, l’autre à prouver.
Pour aller plus loin
Cours
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