Triangles semblables
En bref : Des triangles semblables ont la même forme sans avoir la même taille : leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés correspondants sont proportionnels.
3èmeGéométrie plane
Définition : Triangles semblables
Deux triangles semblables sont l’un l’agrandissement ou la réduction de l’autre, comme une photo et son tirage en grand format. Chaque angle d’un triangle a un angle égal dans l’autre, et les côtés qui se correspondent sont dans un même rapport \(k\).
Deux critères suffisent pour affirmer la ressemblance : deux angles égaux deux à deux (le troisième est alors imposé par la somme de \(180^{\circ}\)) ; ou trois côtés proportionnels. Une fois établie, la ressemblance permet de calculer une longueur manquante avec une égalité de rapports, et de dire que les aires sont multipliées par \(k^2\).
Comment le reconnaître
- Deux figures de même aspect apparaissent, l’une plus grande que l’autre, avec des angles codés de la même manière.
- Les mesures des trois côtés de deux triangles sont données et l’on soupçonne un agrandissement.
- Un triangle est coupé par une droite parallèle à l’un de ses côtés, ce qui crée un petit triangle emboîté.
- Il faut calculer une hauteur ou une distance inaccessible avec une ombre ou un modèle réduit.
La méthode
- Associer les sommets des deux triangles en rangeant les côtés du plus petit au plus grand.
- Calculer les trois quotients de côtés correspondants, ou comparer deux angles à deux angles.
- Si les trois rapports sont égaux à un même nombre \(k\) (ou si deux angles coïncident), conclure que les triangles sont semblables.
- Utiliser \(k\) : une longueur est multipliée par \(k\), une aire par \(k^2\), un angle ne change pas.
Triangles semblables : exemple corrigé
Énoncé
Le triangle \(ABC\) a pour côtés \(AB = 6\), \(AC = 9\) et \(BC = 12\) (en cm). Le triangle \(DEF\) a pour côtés \(DE = 8\), \(DF = 12\) et \(EF = 16\). Sont-ils semblables ? Quel est le périmètre de \(DEF\) ?
Corrigé
On compare les côtés correspondants : \(\frac{DE}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\), \(\frac{DF}{AC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\) et \(\frac{EF}{BC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\).
Les trois rapports sont égaux : les triangles sont semblables, de rapport \(\frac{4}{3}\).
Le périmètre de \(ABC\) est \(27\) cm, donc celui de \(DEF\) est \(27 \times \frac{4}{3} = \) 36 cm, ce qui vérifie \(8 + 12 + 16\).
À toi de jouer
Question 1
Deux triangles ont chacun des angles de \(35^{\circ}\) et \(80^{\circ}\). Sont-ils semblables ?
Voir la réponse
Oui : deux angles égaux suffisent, le troisième vaut \(180 – 35 – 80 = 65^{\circ}\) dans les deux.
Question 2
Le rapport de ressemblance est 2,5. L’aire du petit triangle est de 8 cm². Quelle est l’aire du grand ?
Voir la réponse
\(2{,}5^2 \times 8 = 6{,}25 \times 8 = 50\) cm².
Ne pas confondre Triangles semblables et Triangles isométriques
Des triangles semblables ont des angles égaux et des côtés proportionnels : la taille peut changer. Des triangles isométriques ont des côtés égaux, un à un : ils se superposent. Dire que deux triangles sont semblables avec un rapport de 1, c’est dire qu’ils sont isométriques.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Triangles isométriques
- Homothétie
- Théorème de Thalès
- Réciproque du théorème de Thalès
- Agrandissement et réduction
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