Fonction inverse
En bref : La fonction inverse associe à tout réel x non nul son inverse 1/x : elle est décroissante sur chacun des deux intervalles où elle existe, et sa courbe est une hyperbole.
SecondeFonctions
Définition : Fonction inverse
La fonction inverse est définie sur \(\mathbb{R}\) privé de \(0\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Zéro n’a pas d’inverse, donc la courbe est coupée en deux morceaux, un dans chaque coin du repère.
Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et aussi sur \(]0\,;\,+\infty[\), mais elle n’est pas décroissante sur l’ensemble tout entier : \(-1<2\) et pourtant \(\dfrac{1}{-1}<\dfrac{1}{2}\). Sa courbe, l’hyperbole, a pour centre de symétrie l’origine et se rapproche des axes sans jamais les toucher. Les deux nombres \(x\) et \(\dfrac{1}{x}\) ont toujours le même signe.
Comment le reconnaître
- Une expression contient un quotient de la forme \(\dfrac{1}{x}\) et la valeur \(x=0\) est interdite.
- L’énoncé demande de comparer des inverses sans calculatrice.
- Une courbe est formée de deux branches séparées, qui collent aux axes sans les croiser.
- On cherche un nombre dont l’inverse est donné, comme \(\dfrac{1}{x}=0{,}125\).
La méthode
- Vérifier d’abord que le nombre est non nul ; l’inverse de zéro n’existe pas.
- Pour comparer deux inverses, regarder si les nombres sont de même signe : l’ordre est alors inversé.
- Si les nombres sont de signes différents, conclure directement : l’inverse du négatif est négatif, celui du positif est positif.
- Pour résoudre \(\dfrac{1}{x}=k\), calculer \(x=\dfrac{1}{k}\) lorsque \(k\) n’est pas nul.
Fonction inverse : exemple corrigé
Énoncé
Sans calculatrice, comparer \(\dfrac{1}{-0{,}8}\) et \(\dfrac{1}{-0{,}4}\), puis résoudre \(\dfrac{1}{x}=0{,}125\).
Corrigé
Les deux nombres \(-0{,}8\) et \(-0{,}4\) sont négatifs : on est sur le premier intervalle de décroissance. Comme \(-0{,}8<-0{,}4\), l’ordre est inversé et \(\dfrac{1}{-0{,}8}>\dfrac{1}{-0{,}4}\). Le calcul le confirme : \(-1{,}25>-2{,}5\).
Pour l’équation, l’inverse de \(0{,}125\) est \(\dfrac{1}{0{,}125}=8\), car \(0{,}125\times 8=1\). La solution est \(x=8\).
À toi de jouer
Question 1
Quelle est l’image de \(5\) par la fonction inverse ?
Voir la réponse
\(f(5)=\dfrac{1}{5}=0{,}2\).
Question 2
Pour \(x>0\), résoudre l’inéquation \(\dfrac{1}{x}<0{,}5\).
Voir la réponse
Sur les positifs, l’ordre est inversé : \(\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}\) équivaut à \(x>2\). L’ensemble des solutions est \(]2\,;\,+\infty[\).
Ne pas confondre Fonction inverse et Inverse d'un nombre
L’inverse d’un nombre est celui par lequel on le multiplie pour obtenir \(1\) : l’inverse de \(4\) est \(0{,}25\). La fonction inverse applique cette opération à tous les nombres non nuls à la fois et se représente par une courbe. À ne pas mêler avec l’opposé, qui change seulement le signe.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Inverse d'un nombre
- Hyperbole
- Valeur interdite
- Ensemble de définition
- Variations d'une fonction
- Fonction carré
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