Hyperbole
En bref : L’hyperbole est la courbe de la fonction x ↦ k/x : elle se compose de deux branches séparées qui se rapprochent des axes du repère sans jamais les toucher.
SecondeFonctions
Définition : Hyperbole
Une hyperbole est la représentation graphique d’une fonction de la forme \(f(x)=\dfrac{k}{x}\), où \(k\) est un réel non nul. Zéro étant interdit, la courbe est coupée en deux branches.
Si \(k\) est positif, les branches occupent le coin en haut à droite et celui en bas à gauche du repère. Si \(k\) est négatif, elles occupent les deux autres coins. L’origine est un centre de symétrie, et les axes sont des asymptotes : la courbe s’en approche à l’infini sans les atteindre. Le produit \(x\times y\) reste constant, égal à \(k\), en tout point de la courbe.
Comment le reconnaître
- Deux grandeurs ont un produit constant : quand l’une double, l’autre est divisée par deux.
- Le graphique montre deux morceaux de courbe, dans des coins opposés du repère.
- L’équation est de la forme \(y=\dfrac{k}{x}\), avec \(x\) au dénominateur.
- La courbe se rapproche d’une droite sans la toucher, ce qui s’appelle une asymptote.
La méthode
- Trouver \(k\) en multipliant les coordonnées d’un point connu : \(k=x\times y\).
- Écrire l’équation \(y=\dfrac{k}{x}\) puis calculer les images ou les antécédents cherchés.
- Pour un antécédent de \(y\), résoudre \(\dfrac{k}{x}=y\), soit \(x=\dfrac{k}{y}\).
- Pour tracer, calculer quelques points, relier chaque branche à main levée et laisser les axes comme asymptotes.
Hyperbole : exemple corrigé
Énoncé
L’hyperbole d’équation \(y=\dfrac{k}{x}\) passe par \(A(2\,;\,6)\). Déterminer \(k\), l’ordonnée du point d’abscisse \(4\), puis l’abscisse du point d’ordonnée \(1{,}5\).
Corrigé
Au point \(A\), \(k=2\times 6=12\) : l’équation est \(y=\dfrac{12}{x}\).
Pour \(x=4\), on obtient \(y=\dfrac{12}{4}=3\). Pour \(y=1{,}5\), on résout \(\dfrac{12}{x}=1{,}5\), donc \(x=\dfrac{12}{1{,}5}=\) \(8\). Contrôle : \(8\times 1{,}5=12\).
À toi de jouer
Question 1
Dans quels coins du repère se trouvent les branches de l’hyperbole \(y=\dfrac{-8}{x}\) ?
Voir la réponse
Ici \(k=-8\) est négatif : les branches sont en haut à gauche (\(x\) négatif, \(y\) positif) et en bas à droite.
Question 2
Le point \(P(5\,;\,4)\) appartient-il à l’hyperbole \(y=\dfrac{20}{x}\) ?
Voir la réponse
Oui : \(\dfrac{20}{5}=4\), l’ordonnée de \(P\).
Ne pas confondre Hyperbole et Parabole
La parabole est la courbe de \(x^2\), d’une fonction polynôme : un seul morceau en forme de cuvette, défini pour tous les réels. L’hyperbole est la courbe d’un quotient \(\dfrac{k}{x}\) : deux morceaux séparés, qui frôlent les axes et s’ouvrent vers l’infini sans jamais s’arrêter.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction inverse
- Parabole
- Valeur interdite
- Courbe représentative
- Proportionnalité
- Ensemble de définition
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