Somme des termes d’une suite
En bref : La somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier ; pour une suite géométrique, elle se calcule avec la raison élevée à une puissance.
PremièreSuites
Définition : Somme des termes d'une suite
La somme des termes d’une suite est le total obtenu en additionnant plusieurs termes consécutifs, c’est-à-dire \(S=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n\). Pour des suites simples, des formules évitent d’additionner un par un.
Pour une suite arithmétique : \(S=\text{(nombre de termes)}\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\). Pour une suite géométrique de raison \(q\neq 1\) : \(S=\text{premier terme}\times\frac{1-q^{N}}{1-q}\), où \(N\) est le nombre de termes. Compter correctement les termes est la clef.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande un total : places d’un gradin, économies cumulées, distance totale parcourue sur plusieurs jours.
- Une quantité augmente d’un montant fixe à chaque étape, ou se multiplie par un coefficient fixe.
- Une écriture du type \(1+2+3+\cdots+n\) ou \(1+2+4+8+\cdots\) apparaît.
- Une notation avec le symbole \(\sum\) est donnée.
La méthode
- Déterminer la nature de la suite (arithmétique ou géométrique) et sa raison.
- Compter les termes : de \(u_p\) à \(u_n\), il y en a \(n-p+1\).
- Calculer le dernier terme si nécessaire, puis appliquer la formule correspondante.
- Contrôler l’ordre de grandeur : le total doit être proche du nombre de termes fois un terme moyen.
Somme des termes d'une suite : exemple corrigé
Énoncé
Dans un amphithéâtre, le premier rang compte \(8\) sièges et chaque rang suivant en compte \(5\) de plus. Il y a \(12\) rangs. Combien de sièges au total ?
Corrigé
La suite est arithmétique de premier terme \(8\) et de raison \(5\). Le douzième rang compte \(u_{12}=8+11\times 5=63\) sièges.
La somme vaut \(S=12\times\frac{8+63}{2}=6\times 71=\) \(426\) sièges.
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(1+2+3+\cdots+40\).
Voir la réponse
\(40\) termes, premier \(1\), dernier \(40\) : \(40\times\frac{41}{2}=820\).
Question 2
Calculer \(3+6+12+24+48+96\) avec la formule géométrique.
Voir la réponse
Premier terme \(3\), raison \(2\), \(6\) termes : \(3\times\frac{1-2^6}{1-2}=3\times 63=189\).
Ne pas confondre Somme des termes d'une suite et Terme d'une suite
Un terme est un seul nombre de la liste, par exemple \(u_{12}=63\). La somme des termes est le total de plusieurs d’entre eux. Dans l’exemple des sièges, 63 est le nombre de places du dernier rang, 426 le nombre de places de la salle.
Pour aller plus loin
Cours
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