Raison d’une suite
En bref : La raison d’une suite est le pas constant qui relie chaque terme au terme voisin : un nombre à additionner dans le cas arithmétique, un coefficient à multiplier dans le cas géométrique.
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Définition : Raison d'une suite
La raison d’une suite est la « règle du pas » qui ne change jamais, quel que soit le rang où l’on se place.
Si \(u_{n+1}=u_n+r\) pour tout \(n\), la suite est arithmétique de raison \(r\), ce qui donne \(r=u_{n+1}-u_n\). Si \(u_{n+1}=q\times u_n\), elle est géométrique de raison \(q\), et \(q=\frac{u_{n+1}}{u_n}\) pour des termes non nuls. Une suite quelconque n’a pas de raison : parler de la raison d’une suite suppose l’un de ces deux modèles.
Comment le reconnaître
- Un énoncé dit « chaque mois, on ajoute toujours le même nombre » ou « chaque année, la valeur est multipliée par le même coefficient ».
- On donne quelques termes consécutifs et on demande de reconnaître la nature de la suite.
- Une évolution en pourcentage constant intervient : \(+4\,\%\) par an correspond à \(q=1{,}04\).
- On veut le terme de rang élevé, ce qui nécessite d’abord de connaître la raison.
La méthode
- Calculer la différence \(u_1-u_0\), puis \(u_2-u_1\) : si elles sont égales, la suite est arithmétique et ce nombre est la raison.
- Sinon, calculer les quotients \(\frac{u_1}{u_0}\) et \(\frac{u_2}{u_1}\) : s’ils sont égaux, la suite est géométrique.
- Ne conclure qu’avec au moins deux écarts ou deux quotients identiques, et justifier pour tout \(n\) si l’énoncé donne la formule.
- Exploiter la raison d’une suite ainsi trouvée : \(u_n=u_0+nr\) ou \(u_n=u_0\times q^n\).
Raison d'une suite : exemple corrigé
Énoncé
Un paysagiste relève la hauteur d’une haie au fil des mois : \(1{,}6\) m, \(2{,}4\) m, \(3{,}6\) m. La suite de ces hauteurs est-elle arithmétique ou géométrique ? Donner sa raison.
Corrigé
Les écarts valent \(2{,}4-1{,}6=0{,}8\) et \(3{,}6-2{,}4=1{,}2\) : ils diffèrent, la suite n’est pas arithmétique.
Les quotients valent \(\frac{2{,}4}{1{,}6}=1{,}5\) et \(\frac{3{,}6}{2{,}4}=1{,}5\) : ils coïncident. La suite est géométrique de raison \(q=1{,}5\), ce qui correspond à une hausse de \(50\,\%\) à chaque mois.
À toi de jouer
Question 1
La suite \(100\), \(92\), \(84\), \(76\) est arithmétique. Quelle est sa raison ?
Voir la réponse
\(92-100=-8\) : la raison est \(-8\), la suite est décroissante.
Question 2
Une somme de \(500\) € placée à \(3\,\%\) par an, intérêts compris dans le capital, forme une suite géométrique. Quelle est sa raison ?
Voir la réponse
Augmenter de \(3\,\%\) revient à multiplier par \(1{,}03\) : la raison est \(q=1{,}03\).
Ne pas confondre Raison d'une suite et Coefficient multiplicateur
Dans une suite géométrique, la raison est le coefficient multiplicateur de chaque étape : \(q=1+\frac{t}{100}\) pour une hausse de \(t\,\%\). Ne la confondez pas avec le taux : \(+20\,\%\) donne une raison de \(1{,}2\), pas de \(0{,}2\). Pour une suite arithmétique, la raison est un écart à ajouter.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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