Suite arithmétique
En bref : Une suite arithmétique avance par pas réguliers : l’écart entre deux termes voisins reste identique, égal à un réel r nommé raison, et le terme de rang n vaut u_0 + n r.
PremièreSuites
Définition : Suite arithmétique
Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs ne varie jamais : \(u_{n+1}=u_n+r\), où \(r\) désigne la raison. Cette régularité rend la suite très prévisible, comme un escalier dont toutes les marches ont la même hauteur.
Si \(r\) est positif les valeurs augmentent, s’il est négatif elles diminuent, s’il est nul elles restent constantes. En partant du rang \(0\), le terme général s’écrit \(u_n=u_0+nr\), et plus généralement \(u_n=u_p+(n-p)r\). Les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\) sont alignés sur une droite.
Comment le reconnaître
- Une quantité augmente ou diminue d’un montant constant à chaque étape : places par rangée, loyer fixe, économies mensuelles.
- La différence entre deux termes qui se suivent est la même partout.
- Le nuage de points d’une suite apparaît aligné.
- On demande un terme éloigné sans vouloir écrire toute la liste.
La méthode
- Pour reconnaître une suite arithmétique, calculer \(u_1-u_0\), puis \(u_2-u_1\) : si les écarts sont égaux, noter cette raison \(r\).
- Écrire la formule \(u_n=u_0+nr\) en remplaçant \(u_0\) et \(r\) par leurs valeurs.
- Si l’on part du rang \(1\), utiliser \(u_n=u_1+(n-1)r\).
- Remplacer \(n\) par le rang cherché et effectuer le calcul.
Suite arithmétique : exemple corrigé
Énoncé
Dans une salle de cinéma, la première rangée compte \(14\) fauteuils et chaque rangée suivante en compte \(3\) de plus. Combien de fauteuils dans la \(18\)e rangée ?
Corrigé
Le nombre de fauteuils augmente d’un montant fixe : on a une suite de premier terme \(u_1=14\) et de raison \(r=3\).
Le terme général donne \(u_{18}=u_1+17\times 3=14+51=\) \(65\) fauteuils.
À toi de jouer
Question 1
Une suite vérifie \(u_0=30\) et \(u_{n+1}=u_n-4\). Calculer \(u_9\).
Voir la réponse
La raison est \(-4\) : \(u_9=30+9\times(-4)=-6\).
Question 2
Les nombres \(5\), \(9\), \(14\) sont-ils les premiers termes d’une telle suite ?
Voir la réponse
Non : \(9-5=4\) mais \(14-9=5\), les écarts ne sont pas égaux.
Ne pas confondre Suite arithmétique et Suite géométrique
Ici, chaque terme s’obtient par un ajout constant : l’évolution est régulière et les points sont alignés. Dans une suite géométrique, c’est un coefficient constant qui intervient par multiplication : l’évolution s’accélère ou s’écrase, et les points dessinent une courbe.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Première · Suites
