Terme d’une suite
En bref : Un terme d’une suite est un des nombres de la liste, repéré par son rang : le terme de rang n se note u_n, et le premier terme est souvent u_0 ou u_1 selon la numérotation choisie.
PremièreSuites
Définition : Terme d'une suite
Un terme d’une suite est une valeur particulière de la liste, identifiée par un numéro appelé rang ou indice. On écrit \(u_n\) pour la valeur du rang \(n\).
Il faut distinguer le rang, qui est un entier placé en bas, de la valeur du terme, qui est un réel. Dans \(u_4=77\), le rang est \(4\) et le terme vaut \(77\). Attention aussi au décalage : \(u_{n+1}\) est le terme qui suit \(u_n\), pas \(u_n+1\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande « le terme de rang 7 », « le quatrième terme » ou « le premier terme supérieur à 100 ».
- Une expression comme \(u_{n-1}\), \(u_{n+1}\) ou \(u_{2n}\) apparaît et demande de bien lire l’indice.
- On compare deux termes voisins pour étudier le sens de variation.
- La numérotation commence à \(0\) dans certains exercices et à \(1\) dans d’autres.
La méthode
- Repérer le premier rang : le premier terme d’une suite est \(u_0\) si elle commence à \(0\), \(u_1\) si elle commence à \(1\).
- Pour obtenir un terme d’une suite, remplacer \(n\) par son rang dans la formule, parenthèses comprises.
- Pour \(u_{n+1}\), remplacer \(n\) par \(n+1\) partout dans la formule, sans ajouter \(1\) à la fin.
- Contrôler en calculant le terme d’une suite voisin pour vérifier la cohérence.
Terme d'une suite : exemple corrigé
Énoncé
Une suite est définie pour tout entier \(n\) par \(u_n=3^n-n\). Calculer son terme de rang \(4\), puis le terme de rang \(7\).
Corrigé
Pour le rang \(4\) : \(u_4=3^4-4=81-4=\) \(77\).
Pour le rang \(7\) : \(3^7=2\,187\), donc \(u_7=2\,187-7=\) \(2\,180\).
À toi de jouer
Question 1
Avec \(u_n=3^n-n\), calculer \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\).
Voir la réponse
On remplace \(n\) par \(n+1\) : \(u_{n+1}=3^{n+1}-(n+1)=3^{n+1}-n-1\).
Question 2
Une suite commence à \(u_1\). Combien de termes y a-t-il de \(u_1\) à \(u_{20}\) ?
Voir la réponse
Il y a \(20-1+1=20\) termes.
Ne pas confondre Terme d'une suite et Suite numérique
La suite est la liste entière, notée \((u_n)\). Un terme est un élément de cette liste, noté \(u_n\) : un seul nombre. On parle des variations ou de la limite d’une suite, mais de la valeur d’un terme.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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