Suite définie par récurrence
En bref : Une suite définie par récurrence se donne par son premier terme et une relation qui fournit chaque terme à partir du précédent, de sorte qu’il faut calculer dans l’ordre pour atteindre un rang élevé.
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Définition : Suite définie par récurrence
Une suite définie par récurrence se construit comme une chaîne : on connaît le premier terme, puis une règle \(u_{n+1}=f(u_n)\) indique comment passer à chaque suivant.
Il faut donc deux ingrédients : la valeur de départ, par exemple \(u_0=20\), et la relation de récurrence. Contrairement à une formule explicite, on ne peut pas atteindre directement \(u_{50}\) : il faut en principe calculer les termes un à un.
Comment le reconnaître
- L’énoncé précise un terme de départ puis une phrase du type « chaque jour, la quantité est divisée par deux, puis on ajoute 4 ».
- Une égalité contient à la fois \(u_{n+1}\) et \(u_n\).
- On demande les premiers termes pour conjecturer le comportement de la suite.
- Un tableur ou un programme Python sert à explorer une suite définie par récurrence sur de nombreux rangs.
La méthode
- Face à une suite définie par récurrence, noter le terme initial et la fonction \(f\) qui lie \(u_{n+1}\) à \(u_n\).
- Calculer \(u_1=f(u_0)\), puis \(u_2=f(u_1)\), en réutilisant à chaque fois le dernier résultat.
- Conserver les valeurs exactes ou des arrondis cohérents pour éviter d’accumuler des erreurs.
- Observer les termes obtenus : la suite semble-t-elle monter, descendre, se stabiliser ?
Suite définie par récurrence : exemple corrigé
Énoncé
Un bassin contient \(20\) g de chlore. Chaque jour, la moitié disparaît, puis on en ajoute \(4\) g. On note \(u_n\) la masse après \(n\) jours. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\).
Corrigé
La relation est \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+4\) avec \(u_0=20\).
\(u_1=0{,}5\times 20+4=14\) ; \(u_2=0{,}5\times 14+4=11\) ; \(u_3=0{,}5\times 11+4=9{,}5\) ; \(u_4=0{,}5\times 9{,}5+4=8{,}75\) g. Les valeurs semblent se stabiliser autour de \(8\) g.
À toi de jouer
Question 1
Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n+2n\). Calculer \(u_3\).
Voir la réponse
\(u_1=1+0=1\), \(u_2=1+2=3\), \(u_3=3+4=7\).
Question 2
Soit \(v_0=3\) et \(v_{n+1}=v_n^2-1\). Calculer \(v_2\).
Voir la réponse
\(v_1=9-1=8\), puis \(v_2=64-1=63\).
Ne pas confondre Suite définie par récurrence et Formule explicite
Avec une formule explicite, le terme de rang \(n\) se calcule directement en remplaçant \(n\). Avec une récurrence, il dépend du terme précédent : il faut remonter ou calculer tous les rangs intermédiaires, sauf si l’on découvre une formule explicite équivalente.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Suite numérique
- Formule explicite
- Terme d'une suite
- Suite arithmétique
- Suite géométrique
- Raisonnement par récurrence
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