Point d’inflexion
En bref : Un point d’inflexion est un point de la courbe où la fonction passe de convexe à concave, ou l’inverse ; la dérivée seconde s’y annule en changeant de signe.
TerminaleFonctions
Définition : Point d'inflexion
Un point d’inflexion marque l’endroit où la courbe change de courbure : elle cesse d’être « en forme de bol » pour devenir « en forme de colline », ou réciproquement.
En ce point, la tangente traverse la courbe. Pour une fonction deux fois dérivable, l’abscisse \(a\) d’un point d’inflexion vérifie \(f^{\prime\prime}(a)=0\) avec un changement de signe de \(f^{\prime\prime}\) en \(a\). Annuler \(f^{\prime\prime}\) sans changer de signe ne suffit pas.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de « déterminer les points d’inflexion » de la courbe.
- On a calculé \(f^{\prime\prime}\) et un tableau de signes montre un changement de signe.
- Un graphique montre une tangente qui passe de l’autre côté de la courbe.
- Un modèle de croissance passe d’une phase d’accélération à une phase de ralentissement.
La méthode
- Calculer \(f^{\prime}\), puis \(f^{\prime\prime}\), et résoudre \(f^{\prime\prime}(x)=0\).
- Dresser le tableau de signes de \(f^{\prime\prime}\) autour de chaque solution.
- Retenir seulement les valeurs où \(f^{\prime\prime}\) change de signe.
- Calculer l’ordonnée \(f(a)\) pour donner les coordonnées du point.
Point d'inflexion : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer les points d’inflexion de la courbe de \(f(x)=x^4-4x^3\).
Corrigé
On a \(f^{\prime}(x)=4x^3-12x^2\) et \(f^{\prime\prime}(x)=12x^2-24x=12x(x-2)\). Cette expression s’annule en \(0\) et en \(2\).
Elle est positive pour \(x<0\), négative entre \(0\) et \(2\), positive pour \(x>2\) : elle change de signe aux deux valeurs. Les points d’inflexion sont \((0\,;\,0)\) et \((2\,;\,-16)\), car \(f(2)=16-32=-16\).
À toi de jouer
Question 1
Pour \(g(x)=x^4\), le point d’abscisse \(0\) est-il un point d’inflexion ?
Voir la réponse
\(g^{\prime\prime}(x)=12x^2\) s’annule en \(0\) mais reste positive de chaque côté : non, il n’y a pas de changement de signe.
Question 2
Pour \(h(x)=x^3-3x\), où est le point d’inflexion ?
Voir la réponse
\(h^{\prime\prime}(x)=6x\) change de signe en \(0\) : le point est \((0\,;\,0)\).
Ne pas confondre Point d'inflexion et Extremum
Un extremum correspond à une tangente horizontale où la fonction change de sens (\(f^{\prime}\) s’annule en changeant de signe). Un point d’inflexion correspond à un changement de courbure (\(f^{\prime\prime}\) change de signe). Ils sont indépendants : un point d’inflexion peut même avoir une tangente penchée.
Pour aller plus loin
Cours
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Terminale · Fonctions
